Frage von bllubbb, 30

Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion?

Ich soll in der nächsten Mathe Stunde die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion loga(x) erklären. Ich habe herausbekommen, dass es 1/ln(a)x ist und verstehe den Lösungsweg bis auf einen Punkt. loga(x) kann ebenfalls als x=a^y geschrieben werden. Diese muss dann abgeleitet werden. Hier entsteht mein Problem. Das x abgeleitet 1 ist, ist mir klar. Das a^y abgeleitet ln(a)a^y ist verstehe ich ebenfalls. Aber warum muss dann noch einmal y´ gerechnet werden?

x=a^y Abgeleitet

1=y´ln(a)a^y <- hier tritt die Frage auf

y´= 1/ ln(a)*x

alles bis auf diesen einen Schritt ist mir klar. Vielen Dank im Voraus!

Antwort
von Wechselfreund, 4

Alternativer Weg zur Herleitung (finde ich einfacher)

log a x (log von x zur Basis a) ist z.B. ln x / ln a, also (1/ ln a) mal ln x.

Ableitung also 1/ln a mal 1/x

      Konstanter Faktor mal (ln x)'

Antwort
von Shitter, 19

Kettenregel :D

dein ln(a) hast du ja bekommen in dem du a^y = e^( ln(a) ) ^y geschrieben hast (exp und ln "kürzen sich raus").
Kettenregel lautet: ( u( v(x) )  )' = v'(x) * u'( v(x) )
Dein v(x) ist also ln(a) * y. Das abgeleitet gibt dann ln(a)*y'

Kommentar von bllubbb ,

Dankeschön! Ist ziemlich logisch ;)

Kommentar von Shitter ,

Gern geschehen :D

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