Frage von xDxPx, 60

Ableiten gebrochenrationale Funktion?

Hey habe hier eine aufgabe:

f(x) = 1/(2x^2+1)

bei dieser funktion brauche ich die 1 und 2 Ableitung. Die erste habe ich schon berechnet mit der Quotientenregel.

f´(x) = (-4x)/(2x^2+1)^2

bei der 2.Ableitung habe ich ein problem,

f´´(x) =( (-4)(2x^2+1)^2 - (-4x)8x*(2x^2+1) ) / ((2x^2+1)^3)

soweit bin ich bis jetzt gekommen , meine idee war eigentlich erstmal das (2x^2+1)^2 auszurechnen und dann * (-4) zu nehmen aber das ergebniss stimmt nicht, kann mir jemand sagen wie ich da weiter vorgehe? :O

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 28

Hallo,

in den Nenner gehört (2x²+1)^4.

Dann kannst Du durch (2x²+1)² kürzen:

(32x²-4)/(2x²+1)²

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Kleiner Irrtum meinerseits. Die Ableitung von (2x²+1)² ist 8x*(2x²+1).

Ich hatte ein Quadrat zuviel.

Dann hast Du nach der Quotientenregel:

[-4*(2x²+1)²+32x²*(2x²+1)]/(2x²+1)^4 und Du kannst gegen (2x²+1) kürzen:

[-4(2x²+1)+32x²]/(2x²+1)³=(-8x²-4)/(2x²+1)³

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von xDxPx ,

Ich glaube du hast noch die 32x² vergessen, habe da jetzt 24x²-4 / (2x²+1)³ raus. habe es aber verstanden. Danke ;)

Kommentar von Willy1729 ,

Stimmt. Auf meinem Zettel stand sie noch drauf, dann habe ich sie beim Übertragen auf den Rechner vergessen.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 28

-4 (2x^2 + 1) auszuklammern ist schon mal eine gute Idee. Das wird die Rechnung vereinfachen.

Aber natürlich geht es auch ohne Ausklammern, das Ergebnis ist dann einfach eine andere Darstellung derselben Größe.

Beim Ableiten kannst du stur die Ableitungsregeln anwenden. Die Schwierigkeit besteht darin, bei den vielen Klammern die Übersicht zu behalten.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 24

Erster Rat: Du erkennst, dass im Zähler keine Funktion steht, daher brauchst du keine Quotientenregel.
Zweiter Rat: Die Kettenregel ist sowieso angenehmer, weil der Term kompliziert genug ist.

Kettenregel kurz:
Klammer ableiten wie x, und dann mal Ableitung des Klammerinhalts.
(2x² + 1)^(-1) —> - (2x² + 1)^(-2) * (4x)

Die zweite Ableitung geht dann nach der Produktregel, wobei allerdings v' wieder nach Kettenregel abgeleitet werden muss.

Achte darauf, dass (term)^(-1) so abgeleitet wird: (-1) * (term)^(-2)
[ also vergiss das Minus nicht! ]

Kommentar von Volens ,

Lass den Term (2x² + 1) beisammen, weil du ihn zweimal für die äußere Ableitung brauchst, sonst wird es extrem unübersichtlich.

Antwort
von GothamsDichter, 23

Verusch mal die zweite ableitung als Produkt zu schreiben. Dann kannst du einmal die produktregrl anwenden und einmal die Ketten regel. Der Vorteil davon ist dass du nicht dirsen nervigen Bruch hast. Also (-4x)*(2x²+1)^-2 ableiten mit uv'+u'v. Wobei du bei v' die Ketten regel anwenden musst

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