Frage von Tanechka25, 21

abelsche Gruppe , kann jemand sagen, ob ich die Aufgabe richtig löse?

Man nuss zeigen, das das eine abelsche Gruppe ist Ich weiß, dass ich fünf Eingenschaften zeigen muss: Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales Element, Inverse Elementen und Kommutativität. Ich weiß leider nicht, ob ich das wirklich richtig mache. Ich habe schon gezeigt erte zwei Eigenschaften...aber entwerder sind die falsch und ich nicht genau verstehe, wie man das beweist oder klappt es bei mir einfach nicht, den Schritt drei zu erledigen... Könnte mir bitte jemand helfen? Im Anhang ist das, was ich zu dieser Aufgabe geschrieben habe.

Antwort
von Physikus137, 17

Hallo!

G = { (x₁,x₂,x₃)' :  x₁,x₂,x₃ ∈ ℝ }

und für X = (x₁,x₂,x₃)' und Y = (y₁,y₂,y₃)' ∈ G: X + Y ≔ (x₁+y₁,x₂+y₂,x₃+y₃)

Dann ist die Abgeschlossenheit gegeben weil für xᵢ,yᵢ ∈ ℝ auch xᵢ+yᵢ ∈ ℝ und damit X+Y ∈ G.

Ebenso Assoziativität wegen xᵢ,yᵢ,zᵢ ∈ ℝ ⇒ (xᵢ+yᵢ)+zᵢ = xᵢ+(yᵢ+zᵢ) und also X,Y,Z € G ⇒ (X+Y)+Z = X+(Y+Z)

Für ein Neutrales Element N ∈ G muss gelten: N + X = X, also nᵢ + xᵢ = xᵢ. offensichtlich ist das der Fall für nᵢ = 0 und damit ist N = (0,0,0)' ∈ G, weil 0 ∈ ℝ.

Inverses Element und Kommutativität folgen genauso komponentenweise.

Kommentar von Tanechka25 ,

Dann ist meine Lösung total falsch oder...?

ich muss diese Tabelle gar nicht zeichnen, ja?

Kommentar von Physikus137 ,

Ja, die Tabelle ist falsch. für Z = X + Y, ist ja per Definition z₁ = x₁ + y₁, z₂ = x₂ + y₂ und z₃ = x₃ + y₃. Terme mit gemischten Indizes kommen gar nicht vor.

Die ganze Gruppenstruktur wird quasi von ℝ geerbt, da nur korrespondierende Komponenten (x- und y-Werte mit gleichem Index) addiert werden und diese sind ja reelle Zahlen.

Kommentar von Tanechka25 ,

Vielen vielen Dank!!! =)

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten