Frage von Pryxer, 20

A von Funktion durch Extremum berechnen?

Ich habe eine Mathe Aufgabe und weiß nicht wie ich da ran gehen soll

Die Aufgabe ist:

Der Graph der Funktion f(x)= x^3-5x^2+ax hat bei x=2 ein Extremum. Bestimmen Sie a.

Und dann noch:

Der Graph der Funktion f(x)= x^4-ax^3 hat bei x= -3 ein Extremum. Bestimmen Sie a.

Weiß jemand wie ich das machen müsste?

Antwort
von precursor, 5

f(x) = x ^ 4 - a * x ^ 3 

f´(x) = 4 * x ^ 3 - 3 * a * x ^ 2

f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 6 * a * x

Nullstellen der 1-ten Ableitung bestimmen -->

4 * x ^ 3 - 3 * a * x ^ 2 = 0

x ^ 2 ausklammern -->

x ^ 2 * (4 * x  - 3 * a) = 0

Ein Produkt ist Null, wenn eines seiner Faktoren Null ist.

x ^ 2 = x * x

Deshalb sind die ersten beiden Nullstellen schon mal Null.

x _ 1 = 0

x _ 2 = 0

Nun muss noch die Nullstelle von 4 * x  - 3 * a ausgerechnet werden.

4 * x  - 3 * a = 0

4 * x = 3 * a

x = (3 / 4) * a

x _ 3 = (3 / 4) * a

Da x _ 1 und x_ 2 eine sogenannte doppelte Nullstelle ist, deshalb könnte an der Stelle x = 0 trotzdem nur ein Extremum sein.

Die genannten Nullstellen sind die Nullstellen der 1-ten Ableitung, nicht die Nullstellen der Funktion von der abgeleitet wurde !!

Es wird nicht gesagt, dass du die Art des Extremums feststellen sollst !

Nun musst du noch a bestimmen.

x = -3

-3 = (3 / 4) * a

a = - 4

Die 2-te Ableitung darf an der Stelle x =-3 nicht den Wert Null haben !

f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 6 * a * x

f´´(-3) = 12 * (-3) ^ 2 - 6 * (-4) * (-3) = 36

Das ist nicht Null, deshalb ist an der Stelle x = -3 tatsächlich ein Extremum.

Da x = -3 nicht an der Stelle x = 0 liegt brauchen wir das für x = 0 gar nicht erst untersuchen.


Antwort
von Milb3, 12

Ableiten. Funktion =0 setzen. Wert für x einsetzen. Nach a auflösen.

Viel Erfolg:)

Kommentar von Pryxer ,

Bei der 2. Aufgabe muss ich am Ende 0:(-135) rechnen

Was aber nicht sehr logisch scheint ist das richtig? 

F'(x)= 4x^3-3ax^2

0= 4*(-3)^3-3*a*(-3)^2

0=(-135)a.    |:(-135)

0=a

Kommentar von Milb3 ,

-3^3 = -27. -27*4 = -108. --> -108 -27a = 0 --> a =-108/27 = -4

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