Frage von Samy7, 57

90° im Einheitskreis wie möglich?

Wie ist es möglich das beim Einheitskreis für sinus(alpha) 1 rauskommt ( also das verhältnis), wenn dadurch doch ein viereck ensteht und kein dreieck mehr? Alpha ist in der mitte von dem Kreis, der rechte winkel an dem Rand, bei 90° alpha wird doch ein vierreck daraus, wie kann man dann noch sinus anwenden? Kann mir jemand meinen Logik Fehler erklären.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 23

Das ist formaler Kram, an den du dich mehr und mehr wirst gewöhnen müssen. Und stell dir vor, nach einiger Zeit macht es auch Spaß. Befrei dich mal vom Begriff "Dreieck" und sag dir, in manchen Situationen lass ich mal die Formel walten.

Die Sinusformel sagt aber: ich kenne nur zwei Seiten, die Gegenkathete und die Hypotenuse. Im Einheitskreis ist bei 90° die Gegenkathete = 1 und die Hypotenuse auch = 1. Also 1 / 1 = 1.
Folglich glaube ich, dass sin 90° = 1 ist, solange es vernünftig scheint und keine Widersprüche erzeugt.

Im Einheitskreis kann man dann ja noch weiter drehen und auch Winkel von 91° - 180° erzeugen, über die man dann auch nachdenken muss.

Das ist so ähnlich wie bei periodischen Zahlen, wo man ja auch nur die Definition der Periode hat, weil es vernünftig ist und man vernünftig damit rechnen kann.
   _
0,1  = 1/9   , denn das Neunfache ist in beiden Fällen 1.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Schule, 23

Prinzipiell hast du schon Recht.

Der Sinus von 90 Grad kann in keinem rechtwinkligen Dreieck mehr dargestellt werden.

Der Grenzwert gegen 90 hingegen schon.

Stell dir vor, der Winkel α am Mittelpunkt des Kreises ist 89,99999... Grad groß, also fast 90 Grad aber doch nicht ganz - das Dreieck wäre konstruierbar.

Zwar wären die anderen die anderen Winkel unendlich klein, die Ankathete unendlich kurz und die Gegenkathete fast 1 LE lang, aber das Dreieck wäre gerade noch konstruierbar.

Und da die Hypotenuse ohnehin immer 1 LE und die Gegenkathete 0,P9 LE lang sind, ist der Sinus 1/1, also 1.

Eigentlich ist 1 hier nur der Grenzwert, aber das bezieht sich auch wieder darauf, dass 0,P9 = 1. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Antwort
von gfntom, 32

Bei 90° hast du im Einheitskreis sozusagen ein "degeneriertes" Dreieck.

Du gehst vom Mittelpunkt des Kreises (1. Ecke) um 0 nach rechts (2. Ecke, ist defakto der gleiche Punkt wie die 1. Ecke) dann senkrecht nach oben, bis du den Kreis schneidest (3. Ecke, oben, am höchsten Punkt des Kreises).

Der Sinus ist die Länge von der 2. Ecke zur 3. Ecke. In diesem Sonderfall ist diese Strecke der Radius senkrecht vom Mittelpunkt nach oben.

Kommentar von Samy7 ,

Kann man nicht trotzdem ein dreieck einzeichnen in dem man vom mittelpunkt eins nach rechts geht (x=1) und diesen punkt nun mit 1=y verbindet, somit ist alpha die 90° und man kann sich bildlich das dreieck vorstellen, oder ist dies nicht erlaubt sondern der 90° winkel darf nicht alpha sein? 

Kommentar von gfntom ,

Natürlich kann man - wer sollte einen daran hindern ;) - aber das hat dann nichts mehr mit den Winkeln im Einheitskreis zu tun.

Im Einheitskreis ist der Sinus des Winkels alpha gleich der Länge der Gegenkathete.

Machs, wie es Nadelwald75 vorgeschlagen hat:

Zeichne im Einheitskreis den Sinus für z.B. 50, 60, 70 und 80° ein und beobachte, wie das Dreieck immer schmaler wird. Wenn du das weiterführst bis 90 Grad siehst du, das das "Dreieck" nur noch ein Strich ist.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 19

Der Einheitskreis hat den Radius r=1 (kann mm,cm oder sonst was sein)

Nun zeichnen wir einen Vektor mit den Betrag r=1

sin(x)= Gk/Hy ergibt GK=sin(x) * r dies ist der y-wert,senkrecht auf der x-Achse.

cos(x)=Ak/Hy ergibt AK= cos(x) * r dies ist der x-Wert von r ,der sich mit der x-Achse deckt

Satz des Pythagoras c^2= a^2 +b^2 hier ergibt sich

r= Wurzel( (y-Wert)^2 + (x-Wert)^2))

Beispiel : x= pi/4 ist ein Winkel von 45° zwischen den vektor r=1 und der x-Achse des Einheitskreises.

sin(pi/4)= Gk/r ergibt GK= sin(pi/4) * 1=0,707106 (Wert senkrecht zur x-Achse)

cos(pi/4) = Ak/r ergibt Ak= cos(pi/4) * 1=0,707106 ( x-Wert auf der x-Achse )

PROBE : r= Wurzel( 0,707106^2 + 0,707106^2)=1

Das Selbe kannst du nun mit x= pi/2 ist ein 90° Winkel

Hier ist GK= sin(pi/2) * 1= 1 und

AK= cos(pi/2) * 1= 0

HINWEIS : Am "Einheitskreis" rechnet man im Normalfall mit rad (Winkel in Bogenmaß ,Radiant) .Rechner auf rad einstellen.

Bei Dreiecken rechnet man in Grad ,Flächenberechnung und Winkel von 2 Seiten.

TIPP : besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch,wie den "Kuchling",da kannst du alles über "trigonometrische Funktionen" nachschauen mit Zeichnungen usw. 

Expertenantwort
von Nadelwald75, Community-Experte für Schule, 29

Hallo Samy7,

Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypothenuse.

Jetzt stell dir mal ein Dreiecke im Einheitskreis des Koordinatenkreuzes von sagen wir mal 45 Grad vor. Dann wäre (Taschenrechner) der Sinus etwa 0,71.

Bei 80 Grad wäre das etwas über 0,98.

Der Sinus wird als größer und geht gegen 1. Die Figur wird ein immer schmaleres Dreieck, kein Viereck!

Wenn du den Winkel immer kleiner machst, wird das aber kein Rechteck, sondern es ergeben sich zwei (fast parallele geraden, die gleich lang sind. Und bei 90 Grad sind sie gleich lang und damit das Verhältnis 1: 1 = 1

Kommentar von Samy7 ,

Aber in diesem moment herrscht ja kein dreieck mehr sondern nur parallele linien?

Kommentar von Nadelwald75 ,

Hallo Samy7,

das stimmt nicht genau aber fast. Wenn der Winkel 90 Grad ist, gibt es überhaupt kein Dreieck und die Linien sind parallel.

Daher spricht man davon, dass der Grenzwert gegen 90 Grad geht. Dann geht auch der Grenzwert gegen Parallele.

Die Parallelen sind aber hier gleich lang. Der Kreis kann also so groß sein, wie er will. Wenn du die Längen von gleichlangen Parallelen in Beziehung setzt, kommt immer 1 heraus:

Einheitskreis: Länge der Hypthenuse = 1, Länge der Parallelen fast 1, Sinus 1 : 1 = 1.

Nimm einen beliebigen anderen Kreis: Länge der Hypothenuse 8,7, Länge der Kathete bei fast 90 Grad auch fast 8,7

8,7 : 8,7 = 1

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