Frage von matiko100, 45

3x3 Matrix Invertierbarkeit zeigen, genau dann wenn 2x2 Matrix invertierbar ist?

Hallo,

es geht um folgenden hypothetischen Sachverhalt:

Ich habe eine 3x3 Matrix gegeben, wobei ein Wert eine Variable ist. Außerdem ist eine 2x2 Matrix gegeben, die in der 3x3 Matrix enthalten. In dieser 2x2 Matrix ist auch diese Variable aus der 3x3 Matrix vorhanden.

Nun soll ich beweisen, dass die 3x3 Matrix genau dann invertierbar ist, wenn die 2x2 Matrix es ist und eine Lösungsmenge angeben.

..Ich weiß, dass Matrizen invertierbar sind, wenn det ungleich 0 gilt. Ich weiß auch, dass man eine 3x3 Matrix umschreiben kann in drei 2x2 Matrizden, weiß aber nicht, ob mir das etwas bringt beim Lösen der Aufgabe. Ich konnte nicht zeigen, dass "genau dann wenn" die Invertierbarkeit der einen einen Matrix gilt, auch die andere invertierbar sein muss. Hat vielleicht jemand einen Tipp oder einen Denkanstoß?

Antwort
von Roach5, 23

Es gibt zwei Wege, das zu Lösen:

1. Direkter Weg: Benutze den Laplacschen Entwicklungssatz, und zeige eine Abhängigkeit der 3x3-Matrix von der 2x2-Matrix. Damit kannst du dann deine Matrix ausrechnen.

2. Gleichungssystem: 3x3-Matrizen kann man noch ohne Entwicklungssatz gut per Hand ausrechnen. Wenn du det(3x3-Matrix) = 0 setzt bekommst du eine Gleichung, die du auf die Variable auflösen musst. Das selbe machst du bei det(2x2-Matrix) = 0 und zeigst, dass beide dieselbe Lösungsmenge haben. So bekommst du dieselbe Abhängigkeit.

LG

Antwort
von iokii, 27

Ohne die Matritzen zu kennen wird das wohl schwer.

Möglicherweise kannst du zeigen, dass det (3x3) = 0+ det(2x2).

Kommentar von matiko100 ,

Achso, also gibt es demnach keine allgemeingültige Aussage darüber, dass wenn eine 2x2 Matrix invertierbar ist und in einer 3x3 M. enthalten ist, dass die 3x3 Matrix auch invertierbar sein muss?

Kommentar von iokii ,

Nein.

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