Frage von MrCoolMo, 37

3. Binom mit höheren Potenzen?

Also ich habe das folgende Problem: Ich weiß das a^2-b^2=(a+b)(a-b) ist. Meine Frage ist jetzt gibt es einen allgemeinen Lösungsweg um solche Aufgaben auch mit höheren Potenzen auszuklammern bzw. zu berechen. Z. B. a^6-b^6 oder a^5-b^5

Antwort
von Zwieferl, 9

Ganz allgemein gilt für

  • gerade Hochzahlen a^n - b^n = (a^(n/2) - b^(n/2)
  • gerade Hochzahlen a^n + b^n → nicht faktorisierbar!
  • ungerade: a^n - b^n = (a-b)·(a^(n-1)·b⁰ + a^(n-2)·b¹.....a¹·b^(n-2) + a⁰·b^(n-1)Bei + dazwischen: erste Klammer hat +, zweite Klammer abwechselnd - und plus
Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik & Schule, 17

Du kannst immer die dritte binomische Formel anwenden:

a⁶ - b⁶ = (a³ + b³)(a³ - b³)
          = (a³ + b³)(√a³ + √b³)(√a³ - √b³)
          = (a³ + b³)(a√a + b√b)(a√a - a√b)

usw.

Inwiefern das sinnvoll ist, ist die andere Frage.

Zum Ausmultiplizieren von höheren Binomen solltest du dir den binomischen Lehrsatz zur Hilfe nehmen. ;-)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von MrCoolMo ,

Aber wie komme ich z. B. darauf, dass a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) ist?

Kommentar von Willibergi ,

Da kommst du nicht drauf, weil es falsch ist.

Richtig wäre:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²)

LG Willibergi

Kommentar von ralphdieter ,

Ihr habt beide Recht:

MrCoolMo untersucht a³-b³, und Du zerlegst (a-b)³.

Antwort
von MatthiasHerz, 21

Klar.

Dazu nutzt den Binomischen Lehrsatz, siehe https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz, und als Hilfe das Pascalsche Dreieck, https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck.

Kommentar von MrCoolMo ,

Ich versteh wie das bei den ersten 2 Binomen geht also (a-b)^3=a^3-3ba^2+3ab^2-b^3 aber nicht wie es bei der dritten binomischen Formel geht a^3-b^3=?

Kommentar von Oubyi ,

Irgendwie ist das Komma mit in Deinen ersten Link gerutscht, deshalb funktioniert er bei mir nicht. So passt es:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

Kommentar von MatthiasHerz ,

a^3 - b^3 ist ja auch keine Binomische Formel.

Bei „Exponent 3” hast

(a + b)^3
(a - b)^3
(a + b)(a - b)^2 o. (a + b)^2 (a - b)

Die dritte Zeile kannst auf das Rrste oder Zweite Binom zurückführen und ausmultiplizieren, die ersten beiden löst über das Pascalsche Dreieck.

Antwort
von ralphdieter, 5

Kennst Du geometrische Reihen? Die lassen sich geschlossen darstellen:

    Σ[i=0..n-1] qⁱ = (1-qⁿ) ∕(1-q)  (für q≠1)

Mit q = b ∕ a ergibt das:

    Σ[i=0..n-1] aⁿ⁻¹⁻ⁱ·bⁱ = (aⁿ-bⁿ) ∕(a-b)

Also:

    aⁿ - bⁿ = (a - b)·( aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + … + bⁿ⁻¹ )

Für ungerades n ist das wohl alles, was allgemein geht. Und dass Du a²ⁿ - b²ⁿ besser faktorisieren kannst, haben ja andere schon gesagt.

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