Frage von MatheDelfin, 89

2^x=-4 Wie leite ich die Ergebnisse her?

Hi, ich versuche gerade den Lösungsweg für x zu finden. Ich weiß, dass es unendlich viele Lösungen gibt. x=(2iπn+iπ+ln(4))/ln(2) wobei n jede beliebige ganze Zahl ist. Ich habe keine Ahnung oder auch den kleinsten Ansatz wie ich das Ergebnis herleiten soll. Ich wäre für Vorschläge, Tipps oder ähnliches sehr dankbar. Vielen Dank im Voraus.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 23

Also zuerst schreibst du 2^x = exp(x ln(2)),

also exp(x ln(2)) = -4,

Logarithmieren auf beiden Seiten ergibt:

x ln(2) = ln(-4).

Unsere Hauptaufgabe wird also sein, ln(-4) rauszufinden.

Wenn wir aber eine komplexe Zahl z = a + bi haben, dann hat exp(z) Betrag exp(a) und Argument b. exp(z) soll -4 ergeben, das ist Betrag 4 und Argument Pi, allerdings ist das Argument uneindeutig mit Periode 2 Pi, also gilt exp(z) = -4 genau dann, wenn z = ln(4) + 2 Pi i (1/2 + k), für ganzzahlige k.

Das ist die Lösung für ln(-4), also folgt x =

(ln(4) + 2 Pi i (1/2 + k))/ln(2).

LG

Antwort
von SuperFruchtOase, 30

Ich schätze mal du musst eine andere Darstellung für ln(-4) finden. Es ist ja ln(-4)=z genau dann wenn -4 = exp(z) und hier musst du mit komplexen z arbeiten. Das 2i*pi*n entsteht ja durch Rotation auf dem "Einheitskreis", also exp(z)=exp(2i*pi*n+z) oder sowas in der Art. Kannst du damit etwas anfangen?


Antwort
von ReterFan, 41

Du ziehst die Quadratwurzel. Da du von -4 aber keine Quadratwurzel ziehen kannst (da -4 ja negativ ist), gibt es für x keine Lösung.

Kommentar von ReterFan ,

Ach Quatsch, habe x^2 statt 2^x gelesen. In diesem Falle musst du den Logarithmus bilden.

Kommentar von ReterFan ,

x * lg 2 = lg (-4)

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