Frage von Belus911, 69

2e^(x-1) = 3e^(-x)?

normalerweiße würde ich den ln reinbringen, damit es heißt x-1 = -x... aber mich machen die zahlen vor dem e stutzig... was passiert dann mit ihnen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 46

Es gibt folgende Regel:

log(a*b)=log(a)+log(b), demnach wird

ln(2e^(x-1))=ln(3e^(-x))

zu

ln(2)+x-1=ln(3)-x | +x

2x+ln(2)-1=ln(3) | -(ln(2)-1

2x=ln(3)-ln(2)+1 | /2

x=(ln(3)-ln(2)+1)/2

x=0.702732554

Kommentar von Belus911 ,

Danke für die ausführliche Erklärung!

Dann noch eine letzte Frage, bei "ln(x²+2x+1) = 3 ln ( x+1)" habe ich ja als ln keine Zahl mehr, sondern Terme... wie geht man dort ran?

Kommentar von MeRoXas ,

Eine etwas schwierigere Gleichung, jedoch kann man sich einiger Tricks bedienen:


Du kannst du dir ein tolles Gesetz zur Hilfe nehmen:

b*log(a)=log(a^b)


3*ln(x+1) wird also zu ln((x+1)³)

ln((x+1)³)=ln(x²+2x+1)


Nun gilt: 

Wenn log(a)=log(b) gilt, dann gilt gleichzeitig a=b.


Es folgt:

(x+1)³=x²+2x+1

x³+3x²+3x+1=x²+2x+1 | -(x²+2x+1)

x³+2x²+x=0

x*(x²+x+1)=0


x1=0

und

0=x²+x+1 | Umformung: x²+x+1=(x+1)²

0=(x+1)² <=> x2,3=-1 (doppelte Nullestelle aufgrund des Quadrates).


Die möglichen Lösungen sind also 0 und -1.


ln(0²+2*0+1)=0

3*ln(0+1)=0,

0 ist also eine Lösung.


ln((-1)²+2*(-1)+1)=1.38629436

ln(-1+1) ist undefiniert.

-1 ist also keine Lösung.


Die einzige Lösung der Gleichung ist x=0.



Kommentar von Volens ,

Genauso.

ln(x²+2x+1) = 3 ln ( x+1)     | Binom. Gesetz
ln (x+1)²      = 3 ln (x+1)      | 3. Log-Gesetz
2 ln (x+1)     = 3 ln (x+1)     | -2 ln (x+1)
             0    = ln (x+1)        | in Potenz umformen
           x + 1 = e^0              | Definition e^0 = 1
           x + 1 = 1                 | -1
                x  = 0   

Antwort
von Monsieurdekay, 38

naja da gibt es das Logarithmusgesetz: log (a*b) = log a + log b

also einfach ln (2) + ln(e^(x-1)) = ln(3) + ln(e^(-x))


Antwort
von xBeautifulPainx, 32

Ich hätte gesagt, 1e^(-x-1)

Kommentar von xBeautifulPainx ,

Quatsch, 3e^(x-1)

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