2 Züge beschleunigen konstant. Wann treffen sie sich?

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11 Antworten

rechne aus wie weit beide züge gefahren sind bis sie beide auf ihrer höchstgeschwindigkeit sind (der einer wird es früher errreichen also zählt die zeit bis der zweite auf höchstgeschwindigkeit ist noch zur beschleunigungszeit des ersten dazu, diese zeitdifferenz musst du dann als strecke umrechnen). dann nimmst du die restliche strecke die noch zwischen den zügen liegt und teilst sie durch 3.
dann addierst du diesen wert auf die strecke des langsameren zugs drauf und das ist der punkt an dem sie sich treffen. die zeit kannst du dann ganz leicht selbst bestimmen, da su ja den punkt (und damit die strecke) kennst (musst noch die zeit der beschleunigungsphase draufrechnen).

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Kommentar von Marvin0506
14.07.2016, 13:11

Danke

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Ich nehme an, dass beide Züge dieselbe Strecke entlang fahren und nicht etwa zwei sich kreuzende Strecken, in welchem Fall sie einander natürlich überhaupt nicht begegnen müssen.

Obwohl auch mein erster Gedanke war, die Züge würden natürlich aufeinander zu fahren, ist mir nunmehr aufgefallen, dass es eine realistischere Alternative gibt.

Natürlich werden sie nicht um die halbe Erde fahren und einander irgendwo auf der anderen Seite begegnen, das wäre weit hergeholt. Es gibt aber noch die Möglichkeit, dass sie in dieselbe Richtung fahren, wobei natürlich der langsamere von ihnen in Fahrtrichtung weiter vorn ist, denn anderenfalls wird sich der Abstand vergrößern, und Weltumrundung will ich noch immer ausschließen.

Die Richtung, in die beide fahren, nenne ich einfach mal x. Die Züge Z₁ und Z₂ haben die Beschleunigung a₁ und a₂ und die Maximalgeschwindigkeiten v₁ und v₂, in beiden Fällen Komponenten in x-Richtung, nicht etwa Beträge; sie können also auch negativ sein.

Ohne die Allgemeinheit zu beschränken, kann ich annehmen, dass

(1.1) v₁, a₁ > 0; v₁ |v₁| = v₁  > |v₂|, |a₁| = a₁ > |a₂|,

hier also

(1.2) v₁ = 20km/h ≈ 5,5m/s; a₁ = 2,5m/s²;
        v₂ =±10km/h ≈±2,8m/s; a₂ =±3,0m/s²

ist und Z₁ zum Zeitpunkt t=0 (t kann später zu 15:00Uhr addiert werden) bei

(2.1) x₁(t=0) = 0

und Z₂ bei

(2.2) x₂(t=0) = 20km =: x₀

losfährt. Außerdem ist

(3) vᵢ = aᵢ·t ⇒ tᵢ = vᵢ/aᵢ  mit i = 1,2.

Insgesamt ist

(4.1) (a) x₁(0 ≤ t ≤ t₁) = ½a₁·t²;            (b) x₁(t ≥ t₁) = ½a₁·t₁² + v₁·t

und

(4.2) (a) x₂(0 ≤ t ≤ t₂) = x₀ + ½a₂·t²;    (b) x₁(t ≥ t₂) =  x₀ +  ½a₂·t₂² + v₂·t

Während der Beschleunigungsphasen werden die Züge einander nicht begegnen, dafür ist die Strecke x₀ zu groß und die Züge selbst bei Maximalgeschwindigkeit zu lahmar***ig.

Daher sind (4.1)(b) und (4.2)(b) gleichzusetzen und der Zeitpunkt zu suchen, bei dem das klappt. Das Ergebnis hängt natürlich von den Vorzeichen für Z₂ ab.

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Kommentar von SlowPhil
15.07.2016, 15:09

Die Frage ist übrigens irreführend formuliert. Die Züge beschleunigen nur kurz konstant und behalten ihre Maximalgeschwindigkeit dann bei.

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Du musst es dir so denken: Sobald die Züge sich begegnen, in diesem Moment haben sie Zusammen die gesamte Strecke (jeder mit seiner Geschwindigkeit) zurückgelegt. Also rechnest du die Geschwindigkeit zusammen, und weisst wann die Züge sich treffen. Und durch das "Wann" kommst du auf das "Wo" (Entfernung je Zug vom eigenen Startort).

Du musst nur daran denken die Beschleunigung zu berücksichtigen. Ich bin mir jetzt nicht 100% sicher, aber ich glaube das war so:
Du errechnest die Zeitspanne wann sie ihre Max. Geschwindigkeit haben, und in dieser Zeit legen sie glaube ich halb soviel Strecke zurück wie mit der Max. Geschwindigkeit (Auf einer Skala-Grafik ist die Konstante Beschleunigung ein Dreieck, aber ich weiss nicht mehr welche Achse s (Weg) und t (Zeit) war). Aber das sollte in deinem Aufgabenbuch stehen inkl Theorie.

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Kommentar von DerDragonhunter
14.07.2016, 13:02

UPDATE: Ich habs nochmal durchgedacht, ich würde es so machen: Du nimmst erst die Beschleunigung aus dem Spiel, indem du die benötigte Zeit und Weg errechnest. und der neue Ort / Zeitpunkt sind die neuen Startpunkte der Züge. Und dann kannst du das Prinzip im ersten Absatz meiner Antwort anwenden. Aber dafür muss die Abfahrtsuhrzeit wieder gleich sein, und um dass zu erreichen musst für du den Zug, welcher schneller auf der Max. Geschwindigkeit ist, die neue Position errechnen, indem du die zurückgelegte Strecke vom Punkt (Max Geschw. erreicht) bis Punkt (Uhrzeit vom anderen Zug Max Geschw. erreicht) für den neuen Startpunkt hinzuziehst.

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Kommentar von Marvin0506
14.07.2016, 13:13

Danke du hast mir seht geholfen meine Neugier zu stillen 😊

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Hallo,

im Grunde kannst Du die Strecke, innerhalb derer die Züge beschleunigen, bei einer Entfernung von 20 km vernachlässigen.

Aber egal: 

Schritt 1: Rechne die Endgeschwindigkeit der Züge (sind es bei dem Tempo nicht eher Radfahrer?) in m/s um. km/h:3,6=m/s

10 km/h=2,78 m/s

20 km/h=5,56 m/s.

Der langsame Zug beschleunigt mit 2,5 m/s²,
hat also nach 2,78/2,5=1,11 s seine Endgeschwindigkeit erreicht.

Der schnelle beschleunigt mit 3 m/s und ist nach 5,56/3=1,85 s auf Tempo.

In dieser Zeit legen sie 0,5*a*t² m zurück, der erste also
0,5*2,5*1,11²=1,54 m,
der zweite 0,5*3*1,85²=5,13 m. Das macht zusammen 6,67 m, der Rest der 20.000 m wird in konstanter Geschwindigkeit bewältigt.

Wenn Du es ganz genau haben möchtest, müßtest Du also von den 20.000 m zunächst die Strecke abziehen,
die der schnellere Zug in den 1,85 s zurücklegt, innerhalb derer er beschleunigt, also 5,13 m.

Zusätzlich ziehst Du die 1,54 m ab, die der erste während 1,11 s Beschleunigung zurücklegt, dazu noch die Strecke, die der erste Zug mit Endgeschwindigkeit in 1,85-1,11=0,74 s zurücklegt,
also 0,74*2,78=2,06 m.

Das macht 20.000-(5,13+1,54+2,06)=19.991,27 m.

Für die Strecke von 8,73 m, die von beiden Zügen insgesamt zurückgelegt wurden, bis beide eine konstante Geschwindigkeit erreicht haben, haben sie die Zeit von 1,85 s benötigt. Diese Zeit müßest Du am Ende zum Ergebnis addieren.

Nun hast Du folgende Situation:

Beide Züge fahren mit konstanter Geschwindigkeit und bewegen sich aufeinander zu. Ihr Abstand am Ende der Beschleunigungsphase liegt bei 19.991,27 m=19,99127 km.

Da sie sich aufeinander zu bewegen, addierst Du ihre Geschwindigkeiten zu 20 km/h+10 km/h=30 km/h.

Bis ihr Abstand aufgebraucht ist, sie sich also begegnen,
vergehen also 19,99127/30 Stunden=0,666 Stunden, also etwas unter 40 Minuten.

In 40 Minuten hat der eine Zug 10*2/3=6,67 km zurückgelegt, der andere die doppelte Entfernung: 13,33 km.

Die paar Meter und Sekunden während der Beschleunigung kannst Du getrost vergessen, wenn Du nicht mit 7 oder 8 Stelle hinter dem Komma rechnen möchtest.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von henzy71
14.07.2016, 15:00

Du gehst davon aus, dass sich die Züge auf einander zu bewegen..... Ich kenne solche Aufgaben so, dass sie in die gleiche Richtung fahren und nur der langsamere den Vorsprung von 20km hat (den Schnelleren diesen Vorsprung zu geben macht kein Sinn, denn dann treffen sie sich nie). Ich habe das im Kommentar zu meiner eigenen Antwort mal ausgerechnet.

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Kommentar von Marvin0506
14.07.2016, 17:12

Danke Willy tut mir leid wegen der schlechten Aufgabenstellung, jedoch hast du die Aufgabe richtig verstanden und habe verstanden wie es gerechnet wird. :)

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Kommentar von Hamburger02
14.07.2016, 21:19

Besser hätte ich es auch nicht herleiten können incl. der Verwunderungen. ;-)

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Diese Frage lässt sich offensichtlich nicht beantworten!
Denn man hat keinerlei Information in welche Richtung die Züge Fahren.
Beide Züge können in entgegengesetzte Richtung aufeinanderzu fahren, dann treffen sie sich relativ schnell. Beide können in die Gleiche Richtung Fahren dann wir der schnellere den Langsamen einholen, es dauert aber deutlich länger.
Und sie könnten auch in entgegengesetzte Richtung, voneinander weg fahren - dann vergrößert sich ihr Abstand.

Und selbst das sind nur die Fälle, wenn man das Gleis als eine einzige Linie betrachtet. Ein echtes Streckenetz hätte aber nicht nur diese eindimensionale Struktur.

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Ich habe kein Plan wie man das rechnet ich würde aber gerne wissen wie es geht.

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Wenn man davon ausgeht, dass die Beschleunigungsphase nur Sekunden dauert, andererseits man aber froh sein kann, wenn die Bahn innerhalb von einigen Minuten pünktlich ist, kann man es im Kopf rechnen:

Differenzgeschwindigkeit: 10 km/h
Zurückzulegende Distanz: 20 km
Zeitbedarf: 2h
Uhrzeit: 17.00 Uhr

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Pos_Zug1 = {v < 2,77 m/s (10 km/h):   1/2 at² = 1/2 * 2,5 m/s² * t²
                      v >= 2,77 m/s:                 v * t = 2,77 m/s * t}

Pos_Zug2 = 20.000 m - {v < 5,55 m/s:     1/2 * 3 m/s * t²
                                         v >= 5,55 m/s:  5,55 m/s * t}

Pos_Zug1 = Pos_Zug2                
(Der Punkt, an dem sich beide Züge treffen (bzw. der Zeitpunkt))

[...]

Müsste man jetzt ausrechnen - kannst du gerne machen ...

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Kommentar von Marvin0506
14.07.2016, 13:09

wow Danke ☺

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Kommentar von Jackie251
14.07.2016, 13:42

Du setzt voraus, dass beide Züge aufeinander zu fahren - dies ist durch die Aufgabenstellung so nicht gegeben.

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Erstens: Fahren die Züge denn in die gleiche Richtung oder entgegengesetzt? Zweitens: du solltest dir mal Gedanken machen über die Einheiten von sowohl Beschleunigung (nicht m/s sondern m/s²) und Geschwindigkeit (die solltest du umrechnen von km/h auf m/s)

Gruß

Henzy

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Kommentar von Jackie251
14.07.2016, 13:39

einzige fachlich korrekte Antwort bisher

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Kommentar von henzy71
14.07.2016, 14:42

Aber ich kenne solche Aufgaben. Graben wir mal in meiner Erinnerung und nehmen an, dass hier ein ähnlicher Fall vorliegt. Dann ist es so, dass die Züge in die gleiche Richtung fahren, der langsamere von beiden die 20km Vorsprung hat. Dann wird der langsamere Zug irgendwann irgendwo vom schnelleren überholt. Frage ist wann und wo.

Dazu betrachten wir bei beiden Zügen die Zeit der Beschleunigung und die während dessen zurückgelegte Strecke und die Zeit der unbeschleunigten Bewegung - wo die Geschwindigkeit konstant bleibt - und die dann zurück gelegte Strecke.

Zug 1 (der langsamere): Zeit der Beschleunigung: t = v(t)/a

(1) t = 2.78m/s / 2,5m/s²  --> t = 1.11s

Darin zurückgelegte Strecke:

(2) S(t) = So + Vo*t + 1/2a t² = 0 + 0*1.11 + 0.5*2.5*1.11² = 1.54m

Bis zum Treffen mit Zug 2 hat Zug 1 folgende Strecke zurückgelegt:

(3) S(t) = So + v*t mit So = Vorsprung + Strecke der Beschleunigung

(4) S(t) = 20001.54 + 2.77 t

Zug 2: Zeit der Beschleunigung: t = v(t)/a

(5) t = 5.56 m/s / 3m/s² = 1,85s

Darin zurückgelegte Strecke:

(6) S(t) = So + Vo*t + 1/2a t² = 0 + 0*1.85 + 0.5*3*1.85² = 5.13m

Bis zum Treffen mit Zug 1 hat Zug 2 folgende Strecke zurückgelegt:

(7) S(t) = So + v*t mit So = Strecke der Beschleunigung

(8) S(t) = 5.13 + 5.56 t

Die beiden Strecken S(t) sind natürlich identisch, weil die Züge sich treffen, also können wir (4) und (8) gleichsetzen:

(9) 20001.54 + 2.77t = 5.13 + 5.56t

t = 7167 s   ----> 1.99h --> 2h. Treffen um 17 Uhr.

Zurückgelegte Strecke (t in (9) einsetzen): 39.85km

Gruß

Henzy

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Bitte auch erklären wie der lösungsweg ist.

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Kommentar von henzy71
14.07.2016, 13:53

Vor du einen Lösungsweg erarbeiten kannst, sollst du dir erst mal Gedanken über die genaue Fragestellung machen - siehe dazu auch meine Antwort.....

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Die Formel ist s=1/2at^2

Jetzt das s1 vom ersten Zug mit dem s2 vom zweiten Zug addieren und mit 20km gleichsetzen. Dann weißt du, wie viel Strecke die beiden Züge zurückgelegt haben. Dann umformen nach t.

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Kommentar von Marvin0506
14.07.2016, 12:48

Danke

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Kommentar von AnonYmus19941
14.07.2016, 12:50

Du hast nicht mit eingerechnet, dass es eine maximale Geschwindigkeit gibt...

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