2 wellen mit gleicher frequenz?

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3 Antworten

Hallo Mrgamble7,

zunächst habe ich bei dieser Aufgabe ein kleines Problem mit dem Frequenzbegriff, der im allgemeinen für zeitliche Abläufe verwendet wird. Die Frequenz zählt die Häufigkeit voller Periodendurchläufe pro Sekunde. Unterstellen wir mal dass anstelle der sonst üblichen Variablen t für die Zeit nun ausnahmsweise x verwendet wird. Dann kann man zunächst danach fragen nach wieviel x denn eine Vollperiode abgeschlossen ist. Eine Sinusfunktion, egal mit welcher Phasenverschiebung, hat immer die Periode 2*pi. Nach wieviel x ist diese Periode abgeschlossen?

3*x = 2*pi       ->    x = 2*pi/3 

Dann ist das die Periodendauer, die üblicherweise mit T bezeichnet wird. Der Kehrwert ist die Frequenz

                           f = 3 / (2*pi)  = 0,477

Ich schreibe zur Strafe auch keine Dimension (Hz) dazu weil uns bei x ja auch keiner verrät was es sein soll.

Nun ist der Faktor 3 in den Sinusargumenten der frequenzbestimmende Faktor. Er bestimmt wie schnell die rotieren Zeiger in einer gedachten Ebene umlaufen. Folglich muss die Phasenverschiebung auch auf die dreifach schnellen Zeiger bezogen werden. Das motiviert eine kleine Umstellung in den Argumenten der Sinusfunktionen

sin[3*(x+2*pi/9)] - 4*sin[3*(x-pi/12)]

Jetzt wird es lustig. Den Term muss man sich nun wie zwei rotierende Zeiger vorstellen, die mit dreifacher aber untereinander gleicher Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn in einer Ebene rotieren. Sie sind gegeneinander winkelmässig versetzt. Der erste Zeiger hat die Länge 1 und besitzt eine nacheilende Phasenverschiebung von 2*pi/9, was dem Winkel -40° entspricht. Der andere hat die Länge 4 und hat eine voreilende Phasenverschiebung von pi/12, was +15° entspricht. Doch vorsichtig. Das Minuszeichen vor der 4 dreht den Zeiger nochmal um 180°. Der Zeiger wird praktisch umgeklappt. Das bedeutet, dass wir auch hier eine um 165° nacheilende Phasenverschiebung haben.

Nun muss man sich diese beiden Zeiger anschauen. Man muss sie addieren und kommt nun zu einem resultierenden Summenzeiger, dessen Länge die resultierende Amplitude ausdrückt und dessen resultierende Richtung auch gleich die resultierende Phasenlage angibt.

Wer Lust hat kann das sogar graphisch lösen. Fördert das Verständnis. 

Dann kann man es mit Hilfe der Vektoralgebra lösen. Vektoraddition.

Wer mag kann sich auch mit Additionstheoremen beschäftigen, die Summen und Differenzen von Winkeln in den Argumenten der Sinusfunktion auflösen. Aber auch Additionstheoreme über die Differenz zweier Sinusfunktionen könnten helfen.  

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Kommentar von Mrgamble7
17.11.2015, 23:25

wow danke erst einmal für die umfassende antwort :) wie würde es denn mit additionstheoremen aussehen?

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Amplitude ist die größte Auslenkung, also quasi der betragsmäßig größte Y-Wert.

Die Frequenz ist 1/T (T=Periodendauer).

Phasenverschiebung ist, wenn du 2 Wellen mit der gleichen Frequenz hast und diese aber an unterschiedlichen Stellen ihre Nullpunkte haben. 

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Es gilt sin (ß + α) = sin ß cos α + cos ß sin α

und sin (ß ‒ α) = sin ß cos α ‒ cos ß sin α

Mit 3x = ß und ⅔π = 120° und ¼π = 45° ist sin (ß + 120°) ‒ 4sin (ß ‒ 45°) =

sinß cos120° + cosß sin120° - 4(sinßcos45° -  cosßsin45°) =

- ½ sinß + ½√3 cosß -  4(½√2 sinß - ½√2 cosß) =

- ½ sinß + ½√3 cosß - 2√2 sinß + 2√2 cosß =

(½√3 + 2√2) cosß - (2√2 + ½)sinß = a cosß - b sinß

Ansatz: a cosß - b sinß = c sin (ß - δ) = c (sinß cosδ - cosß sinδ) =

c sinß cosδ - c cosß sinδ → c cos δ = - b und c sin δ = - a →

cos δ = - b/c und sin δ = - a/c → a²/c² + b²/c² = sin²δ + cos²δ = 1 →

c² = a² + b². Damit hat man c. Dann folgt δ zB aus sin δ = - a/c:

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