Wie berechnet man Wendepunkte/Sattelpunkte?
Und wie geht man am Besten an Optimierungsaufgaben ran?
Antworten (5)
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2Hilfreichste Antwort ausgezeichnet vom FragestellerAntwort von
RowalRowal
Zu den Wendepunkten (und Sattelpunkten) wurde bereits eine gute Anwort gegeben. Ergänzend sollte man sagen: Ein Wendepunkt bei x0 liegt vor, wenn die 2. Ableitung an dieser Stelle 0 ist und die 2. Ableitung bei x0 das Vorzeichen ändert.
Die Optimierung kann man anhand deines Beispiels so erläutern: Die (kreiszylindrische) Dose hat 2 Parameter: Den Radius der Grundfläche r, und die Höhe h. Da das Volumen gleich 400 (ml) sein soll, kann man diese 2 auf einen Parameter reduzieren: 400=r² * pi * h; also h = 400/(r² * pi). Bezeichnet man die Blechdicke mit d ist der Ausdruck
2 * r² * pi * d + 2 * r * pi * h * d
zu minimieren. Setzt man nun h ein, so hat man eine Funktion von r=x, nämlich
f(x) = 2 * pi * d * x² + d/200 * 1/x
Eine notwendige Bedingung für das Minimum ist f'(x)=0: Also hat man die 1. Ableitung auszurechnen und gleich 0 zu setzen. Es gilt:
f'(x)=4 * pi * d * x - d/200 * 1/x²
Setzt man dies gleich 0, so kann man x errechnen nämlich x = r = 1/(2 * 3.wurzel(100 * pi)). An dieser Stelle liegt nun das Minimum vor. h läßt sich aus obiger Formel berechnen.
Nach diesem Schema lassen sich viele Optimierungsaufgaben lösen.
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" z.B.: f(x) = 4x^3+2x^2-x
f'(x) = 12x^2+4x-1
f''(x) = 24x+4
Nach x umstellen -> 24x+4 -> 24x = -4 -> x = -4/24
Also ist x = -4/24, ist das jetzt mein Wendepunkt?"
Ja, du hast richtig gerechnet x = -4/24 = -1/6 ist die x-Koordinate deines Wendepunktes
die y- Koordinate lautet: y = 4 * (-1/6)^3 + 2 * (-1/6)^2 - (-1/6) = ....
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0Antwort von
nycos123nycos123
Wendepunkt mit der zweiten Ableitung notwendige Bedingung f´´ gleich null und hinereichende f´´´ also dritte ableitung ungleich null. Sattelpunkt mit erster ableitung notwendige Bedingung und mit der hinreichenden Bedingung kontrollieren. f´ muss gleich null sein, f´´also zweite ableitung muss gleich null sein und f´´´ also dritte ableitung ungleich null. Optimierung ? gib ein Beispiel, dann weiß ich was du genau meinst.
Kommentar von X2010X2010 Mit einer Optimierungsaufgabe meine ich folgende Aufgabentypen: Man hat bspw. eine Konservendose, diese soll einen Inhalt von 400 ml fassen, die Frage ist: Wie müssen die Abmessungen sein, damit 1. der Materialaufwand am Geringsten ist und 2. dass 400 ml von dem Zylinder gefasst werden können.
Das mit der Wendestelle habe ich nicht so wirklich verstanden. Was muss man denn konkret machen? (Am Besten verstehe ich solche Sachen mit einem Schema, also 1., 2., 3., ...)
Kommentar von nycos123nycos123 Du brauchst für diese Aufgaben eine Formelsammlung. Dose ist gesucht, wie berechnet man den Inhalt einer Dose,schreib diese Formel auf.Was ist gesucht, wenn du dir die Formel anschaust und was gegeben?
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KurdenPortalKurdenPortal
Wendepunkt:
Bei der 2 Ableitungsfunktion nach x umstellen
Kommentar von X2010X2010 z.B.: f(x) = 4x^3+2x^2-x
f'(x) = 12x^2+4x-1
f''(x) = 24x+4
Nach x umstellen -> 24x+4 -> 24x = -4 -> x = -4/24
Also ist x = -4/24, ist das jetzt mein Wendepunkt?
Kommentar von KurdenPortalKurdenPortal ja jetzt muss du das x= -4/24 in der normalen funktion einsetzen
f(-4/24) = 4x^3+2x^2-x
Kommentar von KurdenPortalKurdenPortal das Wendepunkt besteht aus dem x in der 2 Ableitungsfunktion und aus dem y in der normalen Funktion
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Danke für den Stern.