Frage von Frolen, 30

2 gleiche Mengen ergeben immer bijektiv?

Hallo zusammen,

wenn ich beispielsweise auf Wikipedia nachgucke, steht dort nur, dass wenn A und B endliche Mengen, mit gleich vielen Elementen sind und f: A --> B eine Funktion ist, dann sei wenn f injektiv ist die Funktion bereits bijektiv und ebenso, wenn sie surjektiv ist, sei sie ebenfalls bereits bijektiv, aber warum genau ist das so?

Kann vielleicht wer ein Beispiel aufzeigen und das genauer erklären, denn zur Zeit kann cih das noch nicht so ganz nachvollziehen.

MfG

Antwort
von kreisfoermig, 6

Zuerst musst du „endlich“ Definieren. In der Mengenlehre ist die primitivste Definition (d. h. ohne Rückgriff auf das komplexe Konzept der natürlichen Zahlen) die folgende

Defn (Dedekind). Eine Menge X heißt dann unendlich, wenn es eine  Injektion ƒ : X –—> X gibt, die nicht surjektiv ist. Eine Menge heißt dann endlich, wenn sie nicht 

Umgeformt: X ist endlich ⟺ jede Injektion ƒ : X—>X ist automatisch surjektiv.

Nun mal zur Behauptung.

Beh. Seien X, Y endlich mit |X|=|Y|. Dann ist jede injektion ƒ : X—>Y automatisch surjektiv.

Beweis. Dass |X|=|Y| heißt genauer, es gibt eine Bijektion g : Y—>X (oder andersrum, es ist äquivalent).

  • Darum ist die Verkettung h := gƒ : X—>X als Verkettung injektiver Funktionen wiederum injektiv.
  • Da X Dedekind-endlich ist, muss h surjektiv sein.
  • Die Verkettung g¯¹h : X—>Y als Verkettung surjektiver Funktionen ist wiederumg surjektiv. Nun gilt aber g¯¹h=g¯¹(gƒ)=ƒ. Also ist ƒ surjektiv.

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