Frage von Spicy316, 32

2. Ableitung, Überprüfung Wendepunkt / Terrassenpunkt?

Hallo, um mögliche Wendepunkt einer Funktion f(x) zu finden, suche ich ja Werte bei denen gilt f''(x)=0. Wie überprüfe ich nun ob es sich an der Stelle um einen Wendepunkt oder Terrassenpunkt handelt? Und was hat es mit der dritten Ableitung f'''(x) ungleich 0 auf sich? Ich habe das alles schon in meinem Mathebuch nachgelesen und verstehe das meiste, aber hier komme ich einfach nicht weiter, deshalb hoffe ich, dass mir das jmd verständlich beantworten kann. Danke schon mal!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Kurz gefasst:

Ein Terrassenpunkt ist ebenfalls ein Wendepunkt, nur mit der speziellen Eigenschaft, dass dort eine waagerechte Tangente vorliegt, also f´(xw) = 0.

Du berechnest also "ganz normal" Deine Wendepunkte. Gilt hierbei für eine bestimmte Stelle xw: f´´(xw) = 0 UND f´´´(xw) <> 0, dann liegt auf jeden Fall eine Wendestelle vor. Nun prüfst Du noch die Steigung. Ist diese null, hast Du einen Terrassenpunkt, sonst einen "normalen" Wendepunkt.

Kommentar von Spicy316 ,

Und um die Steigung zu überprüfen setze ich die Stelle xw ganz normal in f'(x) ein, oder?

Kommentar von KDWalther ,

Genau!

Kommentar von Spicy316 ,

Danke!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Wendepunkt bedeutet, dass der Funktionsgraph an dieser Stelle von einer Links- in eine Rechtskurve wechselt, oder umgekehrt.
Um einen Extrempunkt der Funktion zu berechnen, setzt Du die erste Ableitung, die die Steigung der Funktion angibt, gleich 0.
Mit dem "Null setzen" der zweiten Ableitung ermittelst Du sozusagen den Extrempunkt der Steigung, also die Stelle an der die Steigung entweder ihr Maximum oder Minimum erreicht hat (ausgenommen Terrassen-(Sattel-)punkt).
Ein Terrasenpunkt liegt nun vor, wenn zusätzlich zu f''(x)=0 auch f'(x)=0 ist, z. B. bei f(x)=x³, d. h. in dem Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten ändert, ist auch die Steigung 0, d. h. praktisch, dass der Funktionsgraph immmer schwächer ansteigt (fällt) bis die Steigung 0 ist, und dann aber wieder stärker steigt (fällt). Bei einem "normalen" Wendepunkt steigt (fällt) der Graph auf einen bestimmten Maximal-(Minimal-)wert um anschließend schwächer zu steigen (fallen).

Um nun zu sehen, ob überhaupt ein Wendepunkt vorliegt, ist es sinnvoll, das Vorzeichenverhalten von f'' an der Stelle f''(x)=0 zu ermitteln. Wechselt f'' an der Stelle x das Vorzeichen, so hast Du einen Wendepunkt. Beispiel: f(x)=x^5
f''(x)=20x³; f'''(x)=60x²; bei x=0 könnte wg. f''(x)=0 ein Wendepunkt sein, aber f'''(0) ist ebenfalls 0. Du siehst aber, dass für x<0 f''(x) negativ und für x>0 positiv ist, daher hast Du trotz f'''(x)=0 einen Wendepunkt; bei f(x)=x^4 hast Du f''(x)=12x²; hier ist für x<0 und x>0 f''(x)>0, d. h. kein Vorzeichenwechsel, d. h. kein Wendepunkt.

Kommentar von Spicy316 ,

Danke auch an dich für die ausführliche Erläuterung

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