Frage von Johannes88888, 44

1/6*(x-0,5)^2*(x-3,5) ich soll damit eine KurvenDiskussion durchführen aber ich erreiche einfach nicht die form in der sie x^3+x^2+x+a hat kann mir jmd helfen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 20

…ich erreiche einfach nicht die form in der sie x^3+x^2+x+a hat

Braucht man auch nicht, und es ist fast nie möglich. Eine Polynomfunktion 3. Grades kann allgemein auf die Form

x³ + a₂x² + a₁x + a₀

gebracht werden, wobei sich die anderen Vorfaktoren (»Koeffizienten«) a₂, a₁ und a₀ nicht in jedem Fall eliminieren lassen.

  1. Du kannst die Klammern ausmultiplizieren und dabei genau ein x³-Glied erhalten, bis zu 3 x²-Gliedern, bis zu 3 x-Gliedern und maximal ein absolutes Glied. Gleiche Glieder kannst Du zusammenfassen und voilà!
  2. Die Form aber, die Du dann bekommst, ist für gewisse Zwecke sogar weniger geeignet als die, in der die Funktion jetzt vorliegt. Immerhin kannst Du hier sofort die Nullstellen ablesen, von der eine doppelt und eine einfach ist: Die gesamte Funktion ist 0, wenn einer der Linearfaktoren 0 ist.

Übrigens kann man schon auf den ersten Blick sehen, dass der führende Term ¹/₆x³ und der konstante Term ⁷/₆ lautet, wo der Funktionsgraph die y-Achse schneidet.

So weißt Du schon, dass die Funktion im Negativen nach unten geht und im Positiven nach oben, nicht etwa umgekehrt. Die erste Klammer ist 0 für x=½, die zweite für x=⁷/₂.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Dir ist klar, dass die Form mit nur x³ am Anfang nur für die Nullstellen benutzt wird (normierte Form)? Alle anderen Punkte der Kurvendiskussion müssen mit der kompletten Funktion durch geführt werden.

Aber gerade für die Nullstellen ist die gegebene Form schon ausreichend. Man kann sie direkt ablesen:

x₁ = 0,5
x₂ = 3,5

Die Linearfaktoren sind deutlich sichtbar.
Für alle anderen Punkte musst du erst heftig rechnen, zumal es sich besser ableiten lässt, wenn die Faktoren ausgerechnet sind.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Um den Funktionsterm in die sog. Normalform zu überführen, musst Du die Klammern ausmultiülizieren (vgl. EstherNele).

Die Normalform ist natürlich erheblich praktischer, wenn es ums Ableiten geht.

Für die Bestimmung der Nullstellen dagegen ist die faktorisierte Form erheblich schneller (vgl. Precursor oder Volens).

Du kannst ja bei jedem einzelnen Punkt der Funktionsuntersuchung neu entscheiden, mit welcher Form Dir die Untersuchung praktischer erscheint.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 3

binomische Formel anwenden (x-b)^2= x^2 - 2*b *x +b^2

(x -0,5)^2=x^2 - 2 *0,5 * x + 0,5^2=x^2 - 1 * x + 0,25

1/6 *(...) = 1/6 * x^2 - 1/6 *x + 0,25/6  multipliziert mit ( x -3,5)

1/6 * x^3 - 1/6 * x^2 + 0,25/6 * x - 3,5/6 *x^2 + 3,5/6 *x - 0,25 *3,5/6

Den Rest schaffst du selber .

Nullstellen wenn (x -0,5)^2 gleich Null bei x1= 0,5

und (x-3,5) ergibt x2=3,5

Nennt sich "Satz vom Nullprodukt" C= a *b

c=0 wenn a oder b Null ist

Maximum bei xmax=0,5 und ymax=0

Minimum bei xmin =2,5 und ymin=- 2/3

HINWEIS : Du kannst direkt eine Kurvendiskussion durchführen.Du musst die "Produktregel" anwenden.

Siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentationsregeln" "und elementare Ableitungen" 

"Summenregel" und "Potenzregel" müssen hier auch angewendet werden.

Antwort
von precursor, 4

Dafür kannst du auch schreiben -->

(1 / 6) * (x - 0.5) * (x - 0.5) * (x - 3.5)

Das ist einfach nur eine multiplikative Aneinanderreihung von Linearfaktoren,

Nullstellen -->

x _ 1 = 0.5

x _ 2 = 0.5

x _ 3 = 3.5

Wenn du die Klammern ausmultiplizierst erhältst du -->

(1 / 6) * x ^ 3 - (3 / 4) * x ^ 2 + (5 / 8) * x - (7 / 48)

Damit lässt sich jetzt sehr bequem eine komplette Kurvendiskussion durchführen.

Antwort
von EstherNele, 10

1/6*(x-0,5)^2*(x-3,5) = (1/6)*(x² - x + 1/4)* (x - 7/2)

 (1/6)*(x² - x + 1/4)* (x - 7/2) 

 = (1/6)*(x³ - (7/2)*x²  - x² + (7/2)*x + (1/4)*x -(7/8)

= (1/6)* (x³ - (9/2)*x² + (15/4)*x - (7/8))

Damit hast du erst mal deine gesuchte Form.

Zum Berechnen von Nullstellen:

(1/6)* (x³ - (9/2)*x² + (15/4)*x - (7/8)) = 0   heißt 

(x³ - (9/2)*x² + (15/4)*x - (7/8)) = 0

Jetzt müsstest du eine Polynomdivision durchführen.

usw.

Antwort
von Anonymous221, 17

Hallo Johannes,

was genau sollst du den am Ende herausfinden durch das Umstellen?

Freundliche Grüße

Anonymous221

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community