Frage von Buh13246, 12

1. Ableitungsfunktion beweisen?

Ich soll die erste Ableitungsfunktion für x "hoch" n mit Hilfe der h Methode beweisen wie ? Muss auf n*x hoch (n-1)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von eddiefox, 10

Hi,

Du kannst auch mit der h-Methode + vollst. Induktion arbeiten:

Verankerung: Ableitung der Funktion x->x :

[(x+h) - x]h⁻¹ = hh⁻¹ = 1, also ist lim [(x+h) - x]h⁻¹ = 1 (h->0).

Also gilt (x¹)' = 1x⁰.

Sei (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ wahr für ein n ∈ ℕ. 

Dann gilt

[(x+h)ⁿ⁺¹ - xⁿ⁺¹]h⁻¹ = [(x+h)ⁿ(x+h) - xⁿ x]h⁻¹ = [(x+h)ⁿ - xⁿ]xh⁻¹ + (x+h)ⁿhh⁻¹

= [(x+h)ⁿ - xⁿ]h⁻¹ x + (x+h)ⁿ

Laut Induktionsvoraussetzung strebt der erste Summand gegen 

nxⁿ⁻¹ x = nxⁿ (für h->0). 

Der zweite Summand strebt gegen xⁿ (für h->0) , 

die Summe strebt also gegen nxⁿ + xⁿ = (n+1)xⁿ, was zu zeigen war.

Kommentar von kreisfoermig ,

Du hast so schön mit Induktion angefangen, dann hast du die h-Methode unnötigerweise angewandt. Diese kann man folgendermaßen weglassen:

IA. (d/dx)x¹ = 1 = 1x⁰ (benutze nur für den Anfang die h-Methode, aber dies ist trivial).

IS. Sei n≥1. Angenommen, (d/dx)xⁿ = n·xⁿ⁻⁻⁻¹. Dann gilt mittels der Produktregel (welches unabhängig von diesem Ergebnis für Produkte aus D¹-Funktionen gilt)

(d/dx)xⁿ⁺¹ = (d/dx)(xⁿ·x¹)
= ((d/dx)xⁿ)x¹ + xⁿ·(d/dx)x¹
= n·xⁿ¯¹·x¹ + xⁿ·1
(per Induktionsvoraussetzung)
= n·xⁿ + xⁿ
= (n+1)·xⁿ⁺¹⁻¹

Darum gilt (d/dx)xⁿ = n·xⁿ⁻⁻⁻¹ für alle n≥1.

Kommentar von eddiefox ,

Ja das ist kürzer.

Ich war vorsichtig und davon ausgegangen, dass, wenn man für einzelne bestimmte Funktionen die Ableitung mit der h-Methode herleitet, die Produktregel noch nicht kennt.

Gruss

Kommentar von eddiefox ,

P.S. In der Aufgabenstellung ist auch vorgegeben, mit der h-Methode, also der Definition der Ableitung zu arbeiten. Ich verstehe das so, dass man eben nicht auf ev. schon gezeigte Ableitungsregeln zurückgreifen soll.

Wenn man keinen Punkteabzug riskieren will, sollte man sich lieber an Vorgaben halten.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 12

Hallo,

Du bildest den Differenzenquotienten [(x+h)^n-x^n]/h

(x+h)^n ist gleich Σ[(n über k)*x^(n-k)*h^k], wobei k von 0 bis n geht.

Wenn Du die Summe auflöst, ist das erste Glied für k=0 in der Kette x^n, das im Zähler wieder subtrahiert wird und damit wegfällt. Das zweite Glied der Summe, das nun ganz vorn steht, lautet für k=1: (n über 1)*(x^(n-1)*h^1.

n über 1 ist dasselbe wie n, während Du das h^1 gegen das h im Nenner kürzen kannst. Die anderen Summenglieder haben der Reihe nach h^2, h^3, h^4 usw. als Faktor, der sich durch das Kürzen (Du klammerst das h im Zähler aus und kürzt es gegen das h im Nenner) um eine Potenz verringert.

Nach dem Kürzen steht im Nenner kein h mehr. Wenn Du nun h gegen Null gehen läßt, verschwinden alle Summanden bis auf den ersten, weil alle anderen das h als Faktor haben und damit bei h gegen Null selbst gegen Null gehen.

Übrig bleibt demnach n*x^(n-1)

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Khoonbish, 7

Du nimmst die h-Methode her und setzt deine Funktion da ein. Da wird ein Term (x+h)^n drin vorkommen, was nach binomischem Lehrsatz eine Summendarstellung hat, wo ich mir die einzelnen Summanden auch mal angucken würde. Da kannst du dann das x^n, was noch im Zähler stehen wird mit verrechnen und dann solltest du mit dem Grenzübergang h ->0 ans Ziel kommen.

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