Frage von DesdemoniaBlack, 91

0,5^x - 2,5 = 0,5^(x +2) nach x auflösen?

In meinem Mathebuch steht leider nur die Lösung und zwar x = (ln(10) - ln(3))/ln(0,5)

Wie kommt man da aber jetzt drauf? Ich hab leider keine Ahnung und ich schreibe morgen Mathearbeit...

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 23

0.5 ^ x - 2.5 = 0.5 ^ (x + 2)

Gesetz --> a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n

0.5 ^ x - 2.5 = 0.5 ^ x * 0.5 ^ 2 | : 0.5 ^ x

1 - 2.5 / 0.5 ^ x = 0.25 | -0.25

0.75 - 2.5 / 0.5 ^ x = 0 | +2.5 / 0.5 ^ x

0.75 = 2.5 / 0.5 ^ x | * 0.5 ^ x

0.75 * 0.5 ^ x = 2.5 | : 0.75

0.5 ^ x = 10 / 3

Umrechnung einer Basis zur Basis e -->

a ^ x = e ^ (x * ln(a))

0.5 ^ x = e ^ (x * ln(0.5))

e ^ (x * ln(0.5)) = 10 / 3 | ln(...)

x * ln(0.5) = ln(10 / 3) | : ln(0.5)

x = ln(10 / 3) / ln(0.5)

Gesetz --> ln(a / b) = ln(a) - ln(b)

ln(10 / 3) = ln(10) - ln(3)

x = (ln(10) - ln(3)) / ln(0.5) (Das steht in deinem Buch)

Wenn man das Gesetz --> ln(1 / n) = - ln(n) noch anwendet, dann kann man das noch aufhübschen wenn man will, weil 0.5 = 1 / 2 ist.

x = -(ln(10) - ln(3)) / ln(2)

x = (ln(3) - ln(10)) / ln(2)

x = (ln(10) - ln(3)) / ln(0.5) = (ln(3) - ln(10)) / ln(2)

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 34

Hallo,

wandle 0,5^(x+2) in 0,5^x*0,5² um.

Dann heißt die Gleichung:

0,5^x-2,5=0,5^x*0,5²

Nun bringst Du die -2,5 nach rechts und die 0,5^x*0,5² nach links:

0,5^x-0,5^x*0,5²=2,5

Jetzt kannst Du 0,5^x ausklammern:

0,5^x*(1-0,5²)=2,5

0,5^x*0,75=2,5

Durch 0,75 teilen:

0,5^x=10/3

Um dies nach x aufzulösen, teilst Du den Logarithmus (welcher, ist egal, ich nehme den natürlichen ln) von 10/3 durch den Logarithmus von 0,5:

ln(10/3)/ln(0,5)=-1,737

ln(10/3) ist dasselbe wie ln(10)-ln(3)

Herzliche Grüße,

Willy


Kommentar von DesdemoniaBlack ,

Hi, danke schön, aber warum hast du jetzt ln(10/3) und die ln (10) - ln(3)?

Kommentar von Willy1729 ,

Habe ich doch geschrieben. Du solltest Dir noch einmal die Potenz- und Logarithmengesetze ansehen:

a^b/a^c=a^(b-c)

ln(b/c)=ln(b)-ln(c)

Willy

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

Und warum kommt trotzdem das gleiche raus?

Kommentar von Willy1729 ,

s.o.

Kommentar von UlrichNagel ,

Manche haben wirklich eine lange Leitung! Du hast hier die einzig richtige Antwort.

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

woow danke ;) sind das alle Gesetze oder kommt in der Mathearbeit noch das Böse erwachen weil ich noch eines nicht weiß? 😅

Kommentar von Willy1729 ,

Da gibt's schon noch ein paar. Sieh Dich mal hier um:

https://www.youtube.com/watch?v=5bx4fdtUTQs

Viel Erfolg,

Willy

Kommentar von UlrichNagel ,

Ich erkläre immer nur 1 Potenz-/Logarithmusgesetz: Eine Rechenstufe tiefer verrechnen.

Kommentar von Willy1729 ,

Und hier noch ein Video über Potenzen:

https://www.youtube.com/watch?v=RL2G8noJ_g0

Willy

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

Dankeschön Willy! UlrichNagel Ich habe keine lange Leitung, bin nur überrascht wie wenig mir mein Lehrer beigebracht hat! Danke auch ;) Und da ich einige Rechnungen eben nicht nachvollziehen kann, frage ich hier. Wofür ist Gf denn sonst gut?

Kommentar von Willy1729 ,

Ich glaube, das mit der langen Leitung bezog sich nicht auf Dich.
Du stellst die Fragen, du darfst das.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von JTR666, 48

Also:
0,5^x = 2,5
Dann zieh doch einfach erstmal auf beiden Seiten den log (das ist der Logarithmus zur Basis 10) und du bekommst x*log(0,5) = log(2,5)
Log(0,5) und log(2,5) sind beides nur Zahlen.
daraus folgt, dass x = log(2,5)/log(0,5) = -1,3219...

Ich hoffe ich konnte dir helfen!
JTR

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

Ja das ist klar. Aber was ist mit dem 0,5^(x+2)? Die Aufgabe hieß ja 0,5^x -2,5 = 0,5^(X+2)

Kommentar von JTR666 ,

Ach shit! Hab mich verlesen!

Also:
Teil doch am Anfang einfach mal beide Seiten durch 0,5^x.
Dann hast du ja:
        1 - 2,5/0,5^x = 0,5^2
<=> 1 - 2,5*2^(x) = 0,25
<=> -2,5*2^(x)   = (-0,75)
<=> 2^(x) = 0,3
<=> x*log(2) = log(0,3)
<=> x = log(0,3)/log(2)

Kommentar von JTR666 ,

Und das ist im Endeffekt das selbe wie das was dir dein Buch sagt, denn:
ln(a) - ln(b) = ln(a/b)
ln(10) - ln(3) = ln(10/3)
Und dann hast du halt statt (ln(10)-ln(3))/ln(0,5) einfach ln(10/3)/ln(0,5).

Ich hab dir ja jetzt als Lösung ln(0,3)/ln(2) gegeben.
Wenn du genau hinsiehst, ist ja 0,3 = 3/10 und das ist der Kehrwert von unseren 10/3.
Und für die 2 im Logarithmus des Nenners gilt das Gleiche.
Da wir im Logarithmus des Zählers und im Logarithmus des Nenners die Kehrwerte der Buchwerte haben gleicht es sich wieder aus und das Ergebnis ist das selbe.
Das kommt halt daher, dass man halt ln(a^(-1)/ln(b^(-1)) = -ln(a)/(-ln(b)) = ln(a)/ln(b) hat.

Antwort
von leichtmittel, 54

erstmal beide seiten ausmultiplizieren, 0,5x-2,5=0,5x+1 -- dann -0,5x und +2,5 --> x=3,5

Kommentar von JTR666 ,

Da steht aber nicht 0,5x sondern 0,5^x. Das Dach sagt dir, dass das x die Potenz von 0,5 ist!!!

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