Trigonometrie - neue und gute Antworten

Der Kreismittelpunkt sei M, der Mittelpunkt von P1 und P2 sei C. Da P1 und P2 auf dem Kreisbogen liegen, entsprechen die Abstände P1M und P2M dem (noch unbekannten) Radius r. Damit ist das Dreieck P1MP2 auf jeden Fall gleichschenkilig. daraus folgt wiederum, dass M auf der Mittelsenkrechten von P1 und P2 liegen muss (also euf der Geraden MC). Das ist deshalb wichtig, weil deshalb der Abstand d von C zum Kreisbogen ebenfalls entlang dieser Mittelsenkrechten MC gemessen werden muss. Damit beträgt aber der Abstand von M zu C r-d (Von M zum Kreisbogen ist es r, dann geht es wieder um d zurück, um auf C zu landen).

Damit ist eigentlich alles notwendige üerlegt. Den Mittelpunkt findet man also, indem man vom Punkt C aus eine Gerade senkrecht zu P1P2 bildet und darauf dann die Strecke r-d entlang läuft.der Richtungsvetor v dieser Gerade muss damit senkrecht zu P1P2 sein, damit gilt:

v1·(x1-x2)+v2·(y1-y2)=0

Wobei x1 der x-WErt von P1 ist usw. Damit das nachher einfach ist, wollen wir den Richtungsvektor gleich normieren, d.h. √(v1²+v2²)=1. Damit ergibt sich für den Richtungsvektor v:

(y1-y2)/p
(x1-x2)/p

wobei p der Abstand von P1 und P2 ist, also p=√((x1-x2)²+(y1-y2)²). Damit ergibt sich für die Mittelsenkrechte:

(x1+x2)/2 +t/p·(y1-y2)
(y1+y2)/2+t/p·(x1-x2)

Da wir den Richtungsvektor normiert haben, dürfen wir für t direkt den geforderten Abstand r-d einsetzen. Den Radius r erhält man aus dem glecihschenklien Dreieck P1MP2 und Pythgoras:

r²=(p/2)²+(r-d)²=p²/4+r²-2rd+d²--> r=(p²+4d²)/8

Mit t=r-d ergibt sich damit für die x-Koordinate des Mittelppunktes:

xM=(x1+x2)/2 +t/p·(y1-y2)=(x1+x2)/2 +(d-(p²+4d²)/8)/p·(y1-y2)

=(x1+x2)/2+(y1-y2)·(d-p²+4d²)/(8p)

yM ergibt sich in der gleichemn Weise. Das sollte auch die Implementierung sein, die am wenigsten REchenaufwand bedeutet (p² und d² natürlich als p·p bzw. d·d implementieren), wobei man p in einem Vorschritt berechnet (Noch effizienter wird das Ganze, wenn man t ebenfals im Voraus berechnet und dann eben direkt in die beiden obigen Gleichungen einsetzt.Also: ERst p berechnen, dann t berechnen, dann xM und yM berechnen).

Klar ist natürlich, dass in die Gleichungen für yM und xM auch -t statt t eingesetzt werden kann. Es gibt damit immer zwei Lösungen für das Problem (also eines, indem man an der Geraden P1P2 spiegelt), wehslab man noch entscheiden muss, welche Lösung man hier verwenden will.

In der Regel hat der Taschenrechner eine Tangens-Taste, die mit tan beschriftet ist.

Vermutlich sind mit ∡ α und ∡ β die beiden Winkel im Sinne geometrischer Objekte gemeint. Also nicht soundsoviel Grad, sondern (von zwei verschiedenen Punkten A und B und daran gezeichneten (Halb-)Geraden ausgehend) dieser Punkt A mit diesen beiden Schenklen und dieser Punkt B mit diesen beiden Schenklen.

Mit |…| ist wohl das Maß gemeint, soundsoviel Grad oder Bogenmaß.

Man könnte an den beiden verschiedenen Punkten A und B je zwei Schenkel antragen, die zB einen Winkel von 30° einschließen. Im dem Fall hätte man:

∡ α ≠ ∡ β und |∡ α| = |∡ β| = 30°

Nun, wenn man zwei verschiedene Winkel alpha und beta hat, dann sind diese beiden Winkel nicht gleich (denn sie sind ja verschieden). Es gilt also:

Winkel alpha <> Winkel beta

Dennoch können beide Winkel natürlich gleich groß sein. Und wenn das der Fall ist, dann gilt:

| Winkel alpha | = | Winkel beta |

wobei | Winkel x | die Größe des Winkels ausdrücken soll.