Oberfläche - neue und gute Antworten

Weil beide Fragen ohne Bilder in aller Ausführrlichkeit zu beantworten sehr schwierig zu beantworten sind, geb ich mal ahere bloß die Namen der zu Grunde liegenden Gesetze. Ich vermute mal, dass diese dir dann bekannt sind. Wenn nicht: Das sind wirklich Gesetze, die dir auf jeden Fall bekannt sein müssen. Zu beiden gibt es aber im Internet sehr viele Seiten, deshalb knnst du da dann navh entsprechenden seiten suchen, die dir das nochmals erklären.

Also die Seitenlänge ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: Du kannst doch ein rechtwinkliges Dreieck "in den Kegel hinein" legen, indem du s als Hypotenuse (lange Seite) verwendest und einmal der Radius des Kreises und einmal die Höhe des Kegels die Katheten (kürzere Seiten des Dreiecks) bilden. Da dann zwischen dem Radius und der Höhe ein rechter Winkel ist, ergibt sich mit dem Pythagoras:

s²=r²+h²

und einmal die Wurzel davon ergibt das gewünschte Ergebnis.

2·π·r ist einfach der Umfang eines Kreises. Wenn dir bekannt ist, dass die Fläche mit π·r² berechnet wird, sollte dir diese Formel doch eigentlich auch bekannt sein? Der Umfang des Kreises wird hier natürlich deshalb benötigt, weil der Rand des Mantels ja auf dem Grundkreis steht. Damit ist der Umfang des Grundkreises so lang wie die Bogenlänge des Mantels.

So die letzte Formel ist eigentlich das leichteste, macht aber oft Probleme: Wie du ja oben schon geschrieben hast, gilt für den Flächeninhalt eines ganzen Kreise:

A=π·r²

Jetzt geht es einfach darum, dass man nicht den Flächeninhalt des ganzen Kreises, sondern eines Teilkreises brechnen will, schließlich ist der Mantel ja auch nur ein Teilkreis. Für "bestimmte" Teilkreise ist das eigentlich sofort einleuchtend: Beipielsweise hat der Halbkreis logischerweise den halben Flächeninhalt des Vollkreises, also beträgt der Flächeninhalt des Halbkreises 1/2·π·r² Wenn man jetzt einen beliebigen Kreisausschnitt hat, kann man sich das ja so überlegen: es gibt einen Winkel α (der Mittelpunktswinkle) der charakterisiert, "wie groß" denn der Kreisausschnitt ist. Da der Vollkreis aber einen Mittelpunktswinkel von 360° hat (eine Umdrehung) kann man mit dem Winkel α angeben, welchen Anteil der Kresiausschnitt vom Vollkreis hat: Dieser ANteil muss α/360° sein. Dieser Quotient drück also einfach aus, "wie voll" der Teilkreis ist. Ein paar Besipiele: Für den Halbkreis ist ja α=180°--> Damit ist der Quotient 1/2, so wie wir vorher auhch hatten. Für den Viertelkreis ist das dann also 90°/360°=1/4, was jetzt auch nicht überrraschend ist.

Damit ergibt sich letztendlich, dass der Flächeninhalt des Teilkreises aus dem Flächeninhalt des Vollkreises berechnet werden kann, indem man den mit dem entsprechenden Anteil verechenet. Allgemein also:

A=π·r²·α/360°

Dasselbe kann man sich jetzt aber auch für die Länge des Kreisbogens des Teilkreises überlegen. damit gilt für diesen:

U=b=2·π·r·α/360°

Diesen Kreisbogen nennt man oft b, deshalb hjab ich das hier auch so übenommen. Jetzt kann man foplgendes machen: Wenn man die Gleichung für den Kreisbogen nach α/360° umstellt erhält man:

α/360°=b/(2·π·r)

Und das kann man jetzt wieder in die Formel für den Flächeninhalt des Teilkreises einsetzen:

A=π·r²·α/360°=π·r²·b/(2·π·r)=1/2·r·b

Wie man sieht, kürzt sich also einiges Raus, und wir erhlaten eine sehr schöne Formel für den Flächeninhalt eines Teilkreises (die darf man sich auch merken).

Zurück zum Kegel: In diesem speziellen Fall ist ja der Radius des Teilkreises s. Der Kresibogenumfang b ergibt sich ja aus dem Umfang des Grundkreises zu 2·π·r (nicht durcheinander bringen lassen: Das r hier ist ein anderes r als in der Formel A=1/2·r·b). Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Mantels:

Am=1/2·s·b=1/2·s·2·π·r=π·r·s

Das ist damit dann also auch ganz einfach zu berechnen.

Ich hofef, dass so alles klar wurde. Wie gesagt,SAtz des Pythagoras und Umfang eines Kreises hab ich jetzt nicht erklärt, die soltest du eigentlich kennen, sonst eben nochmals nachschauen. Wenn beim Rest noch was unverstanden ist, bitte nachfragen.

Sei a die Kantenlänge des Würfels. Dann gilt für sein Volumen V:

V = a * a * a = a ³

und für seine Oberfläche O:

O = 6 * a * a = 6 a ²

.

V = 8000 ist gegeben, also ist

V = a ³ = 8000

<=> a = 3.Wurzel ( 8000 )

und somit ist die Oberfläche:

O = 6 * a ² = 6 * ( 3. Wurzel ( 8000 ) ) ²

Der Oberflächeninhalt Ok einer Kugel mit dem Radius R ist:

Ok = 4 * pi * R ²

Der Oberflächeninhalt Oz eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h ist:

Oz = 2 * pi * r * h + 2 * pi * r ²

Es soll gelten:

OZ = Ok / 2

<=> 2 * pi * r * h + 2 * pi * r ² = 2 * pi * R ²

[Division durch 2 * pi :]

<=> r * h + r ² = R ²

Da der Zylinder mit dem Radius r einer Kugel mit dem Radius R einbeschrieben sein soll muss außerdem gelten (Skizze!):

R ² = r ² + ( h / 2 ) ²

<=> r ² = R ² - h ² / 4

Setzt man diesen Ausdruck in die fett gesetzte Gleichung ein erhält man:

r * h + R ² - h ² / 4 = R ²

<=> r * h = h ² / 4

<=> r = h / 4

Zwischenergebnis: Die Höhe h des Zylinders muss also das Vierfache seines Radius r betragen.

Setzt man nun h / 4 für r in die erste fett gesetzte Gleichung ein so erhält man:

( h / 4 ) * h + h ² / 16 = R ²

<=> h ² / 4 + h ² / 16 = R ²

<=> 5 h ² / 16 = R ²

<=> 5 h ² = 16 R ²

<=> h ² = 16 R ² / 5

<=> h = +/- 4 * R / Wurzel ( 5 )

Da nur der positive Wert brauchbar ist, gilt:

h = 4 * R / Wurzel ( 5 )

und wegen h = 4 * r

4 * r = 4 * R / Wurzel ( 5 )

<=> r = R / Wurzel ( 5 )

Die beiden letzten fett gesetzten Gleichungen sind die gesuchten Formeln. Wer mag, der kann ja die Probe machen - ich habe sie auf Papier gemacht und keinen Widerspruch gefunden.

Na, die Oberfläche O eines Kreiskegels besteht aus seiner Mantelfläche Am und seiner Grundfläche Ag. Der Mantelflächeninhalt Am ist bereits vorgegeben.

Die Grundfläche Ag eines Kreiskegels ist ein Kreis. Der Radius dieses Kreises ist ebenfalls bereits gegeben ( r = 4 cm ) Aus dem Radius eines Kreises aber kann man dessen Flächeninhalt Ag berechnen:

Ag = pi * r ²

Also insgesamt:

O = Am + Ag

= ...

das kannst du nun sicher selbst.