schuhmodeschuhmode
Die allgemeine formel lautet ja : f(x+h) - f(X) ------------------- h
Naja, das ist der Ansatz, da gehört noch der Limes h-> davor.
Jedenfalls ist dein x die 8, also die 8 für x einsetzen.
Oder einfach die 3 nehmen ?
Auf keinen Fall! Diese 3 ist doch bloß ein Summand in deinem Funktionsterm!
EnnteEnnte
Hallo,
eine Ableitung einer Funktion nach einer Variable beschreibt die Änderung des Funktionswertes, wenn man die Variable um ein winziges Stück verändert.
Am Besten kannst du dir das in der Physik klarmachen, wenn du z.B. Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Gegenstands anschaust.
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit. D. h., wenn dein Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort ist, ist er kurze Zeit später an einem neuen Ort, den du herausfindest indem du seine Geschwindigkeit dazuaddierst.
Beispiel: Du bist in einer Eishalle und lässt einen Puk übers Eis gleiten (so dass er sich ohne Reibung bewegt). Er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, d.h. v = konstant, sagen wir 10 m/s. Betrachtest du jetzt seinen Ort zu einer beliebigen Zeit, sagen wir nach 5s und fragst dich, wo er denn nach 6s sein wird, kannst du das über die Ableitung der Ortsfunktion, nämlich der Geschwindigkeit, ganz einfach berechenen: In einer Sekunde kommt einmal die Geschwindigkeit dazu, d.h. er ist jetzt 1s * 10 m/s = 10m weiter, als er es nach 5 Sekunden war.
Nun ist dieses Beispiel auch ohne Ableitung usw noch einfach zu lösen, interessant wird die Ableitung aber bei nicht konstanten Sachen, z.B. bei einem Wurf unter Einfluss der Erdanziehung. Hier kannst du mithilfe von ableiten (und integrieren, quasi dem Gegenstück in die andere Richtung) vieles Berechnen.
Für dich wird erstmal das in der Schulmathematik Verwendete interesant sein:
Nehmen wir eine Funktion
f(x) = 2x + 3 .
Wir wollen jetzt schauen, wie schnell sich die Funktion denn verändert. Dazu leiten wir sie einfach mal nach x ab und kommen auf
f ' (x) = 2
Also steigt die Funktion in jedem Punkt, wenn man x um eins erhöht, um 2 an. Wir vergleichen das mit dem, was wir über Geraden wissen: f ist offensichtlich eine Gerade mit Steigung 2, was genau mit unserer Ableitung übereinstimmt.
In diesem Beispiel kann man die Ableitung quasi direkt aus der Geradenform ablesen und sich die Funktion einfach vorstellen. Jetzt wollen wir aber mal eine andere Funktion betrachten, z.b.
g ( x ) = 2 x² +4 x - 2
Hier kann man sich die Funktion nicht so wirklich sofort vorstellen, oder? Wir können uns aber über die Ableitung helfen und so Hoch- und Tiefpunkte usw ausrechnen (das hast du richtig erkannt, das ist in der Schule eine der Hauptaufgaben der Ableitungen ;)).
Überlegen wir uns, wie so ein Tiefpunkt aussieht: Auf der linken Seite geht die Funktion nach unten, auf der Rechten Seite geht sie wieder hoch. Das heißt für die Ableitung, dass sie links negativ sein muss (wenn wir mit dem x ein bisschen nach rechts gehen, wir g ( x ) ein bisschen kleiner) und rechts entsprechend positiv.
Da sie aber nicht einfach springen kann (da sie stetig ist, muss dich in der Schule normalerweise noch nicht so sehr interessieren ;)) muss sie dazwischen irgendwann mal bei der 0 vorbeikommen, an der führt kein weg vorbei von + zu - (oder versuche mal eine linie zu zeichnen, die über der y-achse anfängt und unter der y-achse aufhört, ohne die y-achse zu schneiden ;)
Da die Ableitung links unseres Tiefpunkts - und rechts davon + ist, muss sie im Tiefpunkt logischerweise genau diese 0 werden. (Genauso kannst du dir das für den Hochpunkt vorstellen).
Wenn wir also wissen wollen, wo die Funktion Hoch- und Tiefpunkte hat, schauen wir erstmal, wo denn die Ableitung 0 wird. Berechnen wir also erst einmal die Ableitung von g (x) nach x:
g ' (x) = 4 x + 4
und setzen diese dann 0:
g' ( x ) = 4 x + 4 = 0
Wir sehen schnell, dass g ' (x) genau dann 0 ist, wenn x = - 4 ist. Die Frage ist jetzt noch: Ist bei x = -4 ein Tiefpunkt, ein Hochpunkt oder nix von beidem? Die Antwort darauf liefert uns die 2. Ableitung von g, also die Ableitung von g ' , also die Änderung von g '.
Wenn diese (g '' ) an der stelle x größer als 0 ist, geht g' rechts von x wider etwas nach oben, wird also positiv, also geht auch g wieder nach oben. d.h. wir haben einen Punkt an dem es links davon nach unten und rechts davon nach oben und damit einen Tiefpunkt. Wenn g '' kleiner als 0 ist ist es genau andersrum und wir haben einen Hochpunkt. Wenn g'' genau 0 ist haben wir keins von beidem, sondern einen Stationären Punkt (weil sich einfach nichts ändert ;) )
Betrachten wir unser g und bilden die Ableitung von g ' (x):
g'' (x) = 4
Das ist offensichtlich überall (also auch bei x = -4) größer als 0, damit hat g (x) bei x = -4 einen Tiefpunkt und wir können uns grob vorstellen wie die Funktion aussieht: Sie fängt links "ganz oben" and, wird dann immer kleiner, bis sie bei x = - 4 den kleinsten Wert ( g(-4)= 2 * (-4)² + 4 * (-4) - 2 = 14) erreicht und geht dann wieder ständig nach oben.
Das ist jetzt natürlich nur eine sehr ungenaue Beschreibung der Funktion, aber das ganze lässt sich durch weitere Dinge noch genauer Bestimmen (Wendepunkte, Nullpunkte...).
Für sowas braucht man in der Schule Ableitungen. Wie sie genau berechnet werden lernt ihr sicher noch, ich hoffe ich konnte dir etwas helfen.
mfg Ennte
SoulolaSoulola
ableitung braucht man um die Hoch und tiefpunkte und wendepunkte zu berechnen, außerdem ist die ableitung die steigung
Vanessa2902Vanessa2902
Ich glaube, dass das nur anzeigt, ob die Funktion von links unten nach rechts oben oder von links oben nach rechts unten verläuft. Aber ich bin mir nicht sicher, wir hatten das noch nicht ;))
nee, spielt keine Rolle; bei der 3. darf nur nicht 0 rauskommen.
nikoai Wenn 0 raus kommt muss ich das Vorzeichenwecheel Kriterium anwenden stimmts ??
Also spielt es echt keine Rolle ob positiv oder negativ? weil ich darüber am Freitag eine Klausur schreibe :D
EllejolkaEllejolka ob pos oder neg spielt keine Rolle;
falls f ' ' ' =0 dann guckt man ,ob 5. oder 7. oder 9. Ableitung ungleich 0 , weil dann hat man trotzdem einen Wendepunkt, obwohl f ' ' ' =0
Nehmen wir mal an meine Gleichung lautet : 4 X ^2 + 3 x0 = 8
Dann schreibs doch auch als Gleichung:
f(x) = 4x² + 3
und xo=8. Das xo ist ein bestimmter x-Wert, und mit "xo" wird einfach nur angedeutet, dass der während der Rechnung nicht variabel, sondern eben fest ist. Aber es ist ein x-Wert, also muss der für x in deine Foirmel eingesetzt werden:
(f(x+h) - f(x)) / h
hier einsetzen, das ergibt einfach:
(f(8+h) - f(8)) / h
Jetzt den Funktionsterm verwenden:
( 4·(8+h)² + 3 - (4·8² + 3) ) / h
Jetzt soweit wie möglich vereinfachen, und dann schauen, was für h gegen 0 passiert.
Bitte Klammern, was zusammengehört, da gf keine mathematischen Formelzeichen hat. Man muss sich da halt mit zusätzlichen Klammern behelfen, sonst weiß man nicht, wie es gemeint ist. - Wahrscheinlich so:
f(x)= 2x·e^(2-x)
bin auf u=2x u'=2;v=e^2-x und v'= -e^2-x gekommen
Soweit richtig.
u'v+v'u= 2e^2-x-e^2-x2x
Also:
2·e^(2-x) - 2x·e^(2-x) = | ausklammern
2·e^(2-x) · (1 - x)
Weiter lässt sich nichts zusammenfassen. Deins war eigentlich fasst richtig, nur im letzten Schritt hast du irgendwie falsch zusammengefasst.
f(x)= 2x*e^(2-x)
f '(x)= 2x*e^(2-x) = 2 * e^(2-x) + 2x * e^(2-x) * (-1) ........ Produkt - und Kettenregel
JPHIL46664JPHIL46664
hast du eher die produktregel angewendet aber auf dem ersten blick stimmts. aber dein v´kann ich nicht erkennen was du mit deinem e zeigen willst. und nach dem ersten f´(x) kannst du eigentlich auch aufhören daran rumzubasteln.
Nun, dann ist die "Ortskurve" unabhängig von k, das bedeutet: Die Wendepunkte aller Funktionen der Schar haben dieselben Koordinaten. Die Orts"kurve" ist also ein Punkt.
Hier ein Plot der Schar für k = 1 bis 4 :
littleOrange Das habe ich nun auch gemerkt, als ich es in meinen GTR eingegeben habe. Aber welcher Punkt ist es dann? und was passiert mit x=-1/3?
JotEsJotEs Ich widerrufe :-)
Natürlich hängt die y-Koordinate von k ab, sie ist ja ein Funktionswert der gegebenen, von k abhängigen Funktionenschar. Lediglich die x-Koordinate ist konstant, nämlich:
x = - 1 / 3
Für die y-Koordinate hingegen gilt:
y ( k ) = ( - 1 / 3 ) ^ 3 + ( - 1 / 3 ) ^ 2 - ( 1 / 3 ) k
Die Ortskurve ist also eine Parallele zur y-Achse die durch den Punkt
( ( - 1 / 3 ) | 0 )
verläuft.
.
Irgendwie bin ich heute etwas von der Rolle, sorry ...
littleOrange Vielen Dank für die Rechnung, denn rein rechnerisch verstehe ich das jetzt. Wenn ich die Funktion in meinen Taschenrechner eingebe, liegen die Wendepunkte aber nicht auf x=-1/3, sondern bei O... wie kann das denn jetzt sein?
allerdings ist hier der Faktor k nicht mehr im x-Wert des wendepunkts drin.
Das heißt nur, dass der Wendepunkt immer an der selben Stelle liegt, der x-Wert des Wendepunktes hängt nicht von k ab.
wie finde ich dann die ortslinie?
Ich weiß ja nicht, in welcher Form ihr das hinschreiben sollt - jedenfalls hängt die y-Koordinate des Wendepunktes nur von k ab. Und da die x-Koordinate konstant ist, muss die Ortlinie senkrecht auf der x-Achse stehen.
littleOrange aber dann gibt es doch je nach k viele verschiedene ortskurven, oder?
notizhelgenotizhelge Es gibt unterschiedliche Funktionen, für jedes k eine. Da die x-Koordinate des Wendepunktes nicht mehr von k abhängt, gibt es auch nur die eine Senkrechte als Ortlinie.
Wenn x=-1/3 stimmt (hab ich jetzt nicht nachgerechnet), dann kannst due sowas machen:
y(k) = (-1/3)³ + (-1/3)² + (-1/3)k
Noch ein bisschen vereinfachen, und du kannst für jedes k die y-Koordinate y(k) des Wendepunktes berechnen (ob ihr das y(k) oder irgendwie anders schreiben sollt, weiß ich natürlich nicht).
littleOrange ja, x=-1/3 stimmt, das habe ich auch rausbekommen! also ist das dann die ortskurve wenn ich das richtig verstanden habe? aber wenn ich das im GTR eingebe, liegen alle wendepunkte auf demselben punkt!
notizhelgenotizhelge Für k=0: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+x^3%2Bx^2++from+-1+to+0
notizhelgenotizhelge k=0:
y(0) = f0(-1/3) = (-1/3)³ + (-1/3)² = -1/27 + 1/9 = -1/27 + 3/27 = 2/27
k=1:
y(1) = f1(-1/3) = (-1/3)³ + (-1/3)² + (-1/3) = 2/27 - 1/3 = 2/27 - 9/27 = -7/27
Verschiedene y-Werte. Mal oberhalb, mal unterhalb der x-Achse.
notizhelgenotizhelge Wenn x=-1/3 stimmt
Habs rasch nachgerechnet: x=-1/3 ist richtig.
littleOrange warum liegen denn jetzt alle wendepunkte auf einem punkt?
notizhelgenotizhelge Sie liegen nicht auf einem Punkt. Entweder hast du dich mit deinem GTR irgendwie vertan, oder du hast Werte gewählt, die so dicht aneinander liegen, dass sie optisch nicht unterscheidbar sind. Setzte einfach mal zwei,drei Werte für k ein.
JotEsJotEs warum liegen denn jetzt alle wendepunkte auf einem punkt?
Das ist nicht der Fall! Siehe den Kommentar zu meiner falschen Antwort ...
littleOrange Mhhhh bin ich zu blöd um das einzugeben oder was? :O hier ist es doch so: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2Bx%5E2%2Bx%2Cx%5E3%2Bx%5E2%2B2x%2Cx%5E3%2Bx%5E2%2B3x%2Cx%5E3%2Bx%5E2%2B4x+from-1to1
notizhelgenotizhelge Was du da siehst, ist die gemeinsame Nullstelle all dieser Funktionen, bei x=0. Diese Nullstelle haben alle Funktionen gemeinsam und deren "Ortslinie ist ein Punkt. Der Wendepunkt ist optisch schlecht zu sehen, er liegt etwas links davon.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%2Bx^2%2Bx%2Cx^3%2Bx^2%2B2x%2Cx^3%2Bx^2%2B3x%2Cx^3%2Bx^2%2B4x+from+-2%2F3+to+-1%2F10
littleOrange achso! vielen, vielen dank an euch beide! :-)
notizhelgenotizhelge Etwas deutlicher sieht man den WP hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3Dx^3%2Bx^2-x+from+-1.5+to+1.5
JotEsJotEs An einer Wendestelle von f ( x ) muss f ' ( x ) eine Extremstelle haben. Da eine Extremstelle eines Graphen in der Regel wesentlich besser zu erkennen ist, als eine Wendestelle, habe ich zu dem Graphen von f ( x ) noch den Graphen von f ' ( x ) hinzugefügt. Die Extremstelle von f ' ( x ) ist vorliegend ein Minimum. Man sieht, dass dieses Minimum etwa bei x = - 1 / 3 liegt.
JotEsJotEs In meinem vorhergehenden Kommentar habe ich in der Ableitung einfach k = 2 gesetzt. Das aber passt natürlich nicht zu dem Graphen der von notizhelge angegebenen Funktion f ( x ) , in der er k = - 1 gesetzt hatte. Deshalb bitte noch den folgenden Plot anschauen. Dort sieht man den Graphen der Ableitung der von notizhelge dargestellten Funktion f ( x ), also ebenfalls mit dem Parameter k = - 1.
An der Lage des Wendepunktes von f ( x ) bzw. des Minimums von f ' ( x ) hat sich aber natürlich nichts geändert.
ok, dann ist im x-wert kein k mehr; aber im y-wert
littleOrange das hab ich mir auch schon gedacht... aber dann habe ich als ortskurve eine gleichung mit k und ohne x drin... geht so etwas denn? bzw... dann hab ich ja nicht eine ortskurve sondern unendlich viele, je nach k.
EllejolkaEllejolka dann liegen die Wendepunkte wohl auf der Geraden x=-1/3
littleOrange muss ich das denn dann nicht mehr in f einsetzen?
EllejolkaEllejolka kannst ja als Probe die Wendepunkte für k=1,2,3.. ausrechnen und gucken, wo die liegen. ☺
EllejolkaEllejolka doch musst du in f einsetzen, um y-wert zu bekommen, in Abhängigkeit von k
MarieAnouMarieAnou
littleOrange da war ich schon, aber da fällt der faktor k beim ableiten nicht weg!
cdr2chakotaycdr2chakotay
klingt nach Hausaufgabe
Kuro48Kuro48 Aber nach jemanden der wenigstens über diese nachgedacht hat. ;)
littleOrange hey ich hab alle aufgaben gelöst außer bei dieser komm ich nicht weiter. da ist doch ein kleiner tipp wohl erlaubt. ich brauche ja nicht die exakte lösung! ... genau, danke, Kuro48 ;)
aber wie geht's dann weiter?
1/2 * ((x-1)/(3-x)) ^(-1/2) * (1 * (3-x) - (x-1) * (-1) ) / (3-x)² =
1/2 * ((x-1)/(3-x)) ^(-1/2) * 2 / (3-x)² =
1 / [ (3-x)² √((x-1) / (3-x)) ] =
1 / [ √((3-x)^4 * (x-1) / (3-x)) ] =
1 / [ √((3-x)³ * (x-1)) ] =
1 / [(3-x) * √((3-x) * (x-1)) ]
DiscoPrincessDiscoPrincess Dankeschön!!!! :))
DiscoPrincessDiscoPrincess Nee irgendwie versteh ich jetzt den zweiten Schritt nicht :/ ich steh echt total auf der Leitung :D also das in der 2. Zeile, wie kommt man denn auf 2/(3-x)^2 ?
Aurel8317648Aurel8317648 Hallo
rechter Teil der ersten Zeile lautet : (1 * (3-x) - (x-1) * (-1) ) / (3-x)²
wenn man das weiter ausrechnet:
(1 * (3-x) - (x-1) * (-1) ) / (3-x)² =
( (3-x) - (-1) * (x-1) ) / (3-x)² =
(3 - x + (x-1) ) / (3-x)² =
(3 - x + x-1 ) / (3-x)² =
(2 ) / (3-x)² =
2 / (3-x)²
LG
DiscoPrincessDiscoPrincess Danke jetzt hab ich's gecheckt :D :)
f(x)=√((x-1)/(3-x)) =
((x-1)/(3-x)) ^(1/2) = ..............(Kettenregel und Quotientenregel)
1/2 * ((x-1)/(3-x)) ^(-1/2) * (1 * (3-x) - (x-1) * (-1) ) / (3-x)² = ...
DiscoPrincessDiscoPrincess Genauso hatte ich das auch, aber wie geht's dann weiter? Weil das Ergebnis ist ja angegeben: f'(x)=1/(3-x)*√(3-x)(x-1)
jeedy du musst die kettenregel anwenden , nicht die produktregel also u`(x) * e^u(x)
dann kommst du auch auf das ergebnis :)
(zum nachprüfen : u(x) =1/4e^-4x^2 U´= 8x
8x* 1/4e^-4x^2= 2xe^-4x^2
novelline Ich würde die Kettenregel (F'(x)=u(v)*v') verwenden. Also, dass der Exponent der e-Funktion die innere Funktion der Verkettung ist. Dann hast du als Ableitung von der inneren Funktion -4x^2: -8 und das multiplizierst du mit -1/4. Voila!
EllejolkaEllejolka
hier nimmst du die Kettenregel, nicht die Produktregel.
JasminP93 Hab schon das Richtige heraus. Und ich brauche beide Regeln. Die Kettenregel brauche ich bei e, aber bei -1/4 ist das was anderes. Das gehört genau genommen nicht dazu, dazwischen ist ja ein *.
EllejolkaEllejolka Produktregel nimmt man hier nicht, weil vor e^ kein x steht, sondern nur ne Konstante -1/4
und mit der zweiten ableitung kann ich dann hochpunkt tiefpunkt und wendepunkt berechnen? Und was ist mit der dritten?
also mit der 1. ableitung machst du hoch- oder tiefpunkt, indem du dann die x- werte (nullstellen) in die 2. ableitung einsetzt um die y-werte zu bekommen
mit der 3. ableitung kannst du sehen ob es rechts- oder linkskrümmung ist